Ellos son diferentes. La razón por la que las personas usan los términos indistintamente es porque en muchos cruces fronterizos (especialmente en los aeropuertos) un grupo de personas maneja ambos.
Aduanas se trata de las cosas que llevas al país. ¿Está permitido, si paga impuestos, si es confiscado y quemado, etc. Por defecto, ninguna de sus cosas está permitida, incluso si es un ciudadano que regresa a casa?
La inmigración se trata de una persona que está visitando, inmigrando o volviendo a casa. Por defecto, los visitantes son (técnicamente) rechazados a menos que tengan una buena razón y cumplan con otros criterios (por ejemplo, los visitantes a Canadá pueden ser rechazados si tienen antecedentes penales) y los que viven aquí son admitidos. Los inmigrantes son admitidos si el papeleo que han hecho de antemano es correcto.
Ambos procesos implican "quién eres, de dónde vienes, por qué vienes aquí, por qué estabas allí", etc. Ambos involucran a una persona uniformada, su pasaporte y probablemente su equipaje. Por ejemplo, si dice que está de visita durante 3 días, pero ha traído ropa por un valor de semanas, probablemente todo lo que posee, junto con posesiones más permanentes como libros, álbumes de fotos y CD, un oficial de inmigración puede sospechar que se mudará aquí. Los funcionarios de aduanas pueden querer inspeccionar su equipaje en busca de contrabando, y su explicación de su visita puede marcar la diferencia entre ser inspeccionado o no. Como resultado, se consideran un proceso único en la mente de la mayoría de las personas.
Para agregar a la complicación, muchas aerolíneas no le permitirán abordar a menos que los convenza de que lo dejarán en su destino, y algunos aeropuertos (especialmente en Europa) quieren ver su pasaporte y otra documentación relacionada con la inmigración varias veces antes llegas a la puerta de embarque. Nada de esto cuenta como "despacho de aduanas e inmigración", pero seguramente se siente así.