Si viajó con ESTA, entonces ha sido admitido bajo el programa de exención de visa (VWP). Una condición del VWP es que no puede extender su estadía o cambiar su estado. La respuesta literal a su pregunta, por lo tanto, es "no, no puede".
Por lo tanto, debe irse antes de la fecha en su registro I-94, que puede consultar en https://i94.cbp.dhs.gov . Esa fecha también debe estar escrita en su sello de admisión, en su pasaporte.
Los visitantes de VWP normalmente son admitidos por 90 días. Como planea pasar un poco más de un mes en los Estados Unidos, no está claro por qué cree que esto requeriría extender su estadía. Si indicó una estadía más corta cuando llegó, no es necesario que notifique al gobierno de los EE. UU. Sobre su cambio de planes. Si su período de admisión se redujo por algún motivo, no puede cambiarlo.