Respuesta corta: el Vaticano es un país.
Una respuesta larga requiere entender que hay una diferencia entre "Estado" y "País", pero el Vaticano califica como ambos de todos modos.
La Ciudad del Vaticano es un Estado (la definición legalista de un país independiente), lo que significa que tiene plena soberanía nacional. Establece sus propias leyes, tiene ciudadanos, algunos de los cuales viven allí permanentemente, emite pasaportes, tiene una economía y un banco nacional, emite moneda (el euro), tiene territorio (tierra), mantiene relaciones diplomáticas en el Estado A nivel de partido con otras naciones, tiene fronteras internacionales, un gobierno nacional (en el caso del Vaticano, una monarquía teocrática), y es reconocido como un Estado por otros Estados. Mantiene los servicios postales y telefónicos, tiene un sistema de transporte público (muy limitado), su propio servicio militar nacional, etc.
Es importante tener en cuenta que la ciudad del Vaticano (la entidad nacional) está separada de la Santa Sede (la entidad religiosa) que mantiene sus propias relaciones con otras entidades.
Además, alguien mencionó que el Vaticano es el país más pequeño del mundo. De hecho, ese dudoso honor le corresponde a Sealand porque tiene la superficie terrestre más pequeña, aunque no muchos otros Estados reconocen a Sealand como soberano.
Y ahora la respuesta extendida:
La Ciudad del Vaticano también califica como país. Los países no tienen que ser soberanos. Por ejemplo, Puerto Rico es un país pero no un Estado porque es administrado por los Estados Unidos, no regula su propia economía ni emite dinero, goza de una autonomía nacional limitada (su capacidad para hacer leyes está limitada por el gobierno federal de los EE. UU.), otros Estados no lo reconocen como un Estado, etc. A este respecto, es similar a otras entidades subnacionales como Hong Kong (parte de China) o Inglaterra (parte del Reino Unido) o los estados internos de los Estados Unidos.