Respuestas:
Hay un indicador -o que indica que solo se debe imprimir la subsección coincidente de la línea.
Úselo junto con wc -l:
grep -o "part of line" | wc -l
man grep también lo explica.
Como alternativa a las otras respuestas, usando solo grep:
grep -o "seach pattern" somefile.txt | grep -c ""
El -o en el primer grep genera cada coincidencia, y solo la coincidencia, no toda la línea (a menos que toda la línea ES la coincidencia, por supuesto). El -c en el segundo grep los cuenta.
Hay unos pocos caracteres más para escribir (como 4 o 5), pero me resulta más fácil de recordar.