Como han dicho otros, realmente depende de la configuración de su servidor de correo. Normalmente, el servidor de correo enviará un mensaje de devolución al remitente indicando algo en el sentido de 'el buzón del destinatario está lleno'.
Sin embargo, en mi experiencia, existe toda posibilidad de que el servidor de correo envíe una respuesta genérica / ininteligible al remitente, o peor aún, simplemente deje caer el correo electrónico sin informar a nadie.
Por supuesto, espero que su software de correo web le advierta que está cerca / ha excedido su límite, pero no está garantizado. Si está accediendo a su correo electrónico a través de un cliente de correo electrónico con POP3 / IMAP, es poco probable que reciba una advertencia.