Parece que no tengo la configuración que menciona Shawn, pero pude hacer que esto funcionara abriendo el /usr/lib/slack/resources/app.asar.unpacked/src/static
directorio, haciendo una copia del slack-taskbar-rest.png
archivo y renombrándolo slack-taskbar-unread.png
para sobrescribir la versión con el punto azul.
por supuesto, eso elimina el punto azul para todos los equipos, pero eso es lo que quería.
Editar (28/05/2019): la idea sigue siendo correcta, pero para la versión más reciente de Slack (3.4.2) en Ubuntu, se deben reemplazar dos archivos más. Lo siguiente funcionó para mí:
cd /usr/lib/slack/resources/app.asar.unpacked/src/static
sudo cp slack-taskbar-rest.ico slack-taskbar-unread.ico
sudo cp slack-taskbar-rest.png slack-taskbar-unread.png
sudo cp slack-taskbar-rest-linux.png slack-taskbar-unread-linux.png