Lamentablemente no. Y creo que esto es por diseño.
El problema es que el portapapeles de Windows no tiene que almacenar los datos. Es efectivamente un centro de intercambio de información donde cualquier aplicación puede enumerar los datos que se acaban de copiar (o cortar) y ofrecer hasta cualquier aplicación (incluida ella misma) para pegar. El portapapeles contiene una lista de formatos en los que los datos están disponibles, y si la aplicación decide hacerlo, los datos en sí mismos en algunos de esos formatos.
La aplicación que procesa una operación de Pegado tiene la opción de elegir el formato de datos que más le convenga. Algunas aplicaciones (por ejemplo, el Bloc de notas) solo aceptarán un formato particular (como texto sin formato) y simplemente no harán nada si ese formato no está disponible. Otros eligen un formato preferido de manera predeterminada, pero proporcionan una interfaz de usuario para elegir entre alternativas que esa aplicación puede entender.
En principio, se podría escribir un programa que monitoree el portapapeles en busca de nuevo contenido y aplaste cualquier contenido que no sea de texto a texto sin formato. Hay un evento disponible para notificar a dicho monitor de nuevo contenido en el portapapeles. Sin embargo, sospecho que implementar tal cosa rompería una buena cantidad de programas, y posiblemente de maneras sorprendentes.
La solución simple en XP de stock es usar el Bloc de notas para aplanar los datos cuando sea necesario, o usar una de las muchas herramientas que mejoran el portapapeles al implementar una pila, proporcionar una vista de su contenido, etc.
Si desea intentar construir una herramienta usted mismo, podría beneficiarse de esta pregunta en SO y sus preguntas relacionadas ...