La pista está en la pregunta: nombre de dominio. Para que esto se resuelva, necesitará tener un servidor local que lo resuelva por usted, en lugar de pasar la solicitud a Internet.
Opción 1:
configure un servidor DNS local que utilicen todas sus computadoras. Este servidor DNS tiene una entrada para su Pi, por lo que cualquier solicitud a su nombre de dominio / nombre de host dará como resultado la búsqueda de una IP local. Cualquier otra solicitud se pasa en sentido ascendente.
Opción 2:
si su enrutador / puerta de enlace (suponiendo que tenga uno) lo admite, puede hacer que actúe como el servidor DNS mencionado en la Opción 1.
Opción 3:
puede editar el archivo hosts para incluir una entrada para su Pi. Esto tendrá que hacerse en todas las otras computadoras en la red que quieran poder hacer la misma búsqueda también.
Érase una vez la opción 1 yo mismo. Ya tenía un servidor web con DNS ejecutándose en él, por lo que fue simple agregar otra entrada. Actualmente estoy usando la opción 3.
PD: También puede haber otras alternativas específicas de plataforma disponibles.