MLE del parámetro de ubicación en una distribución de Cauchy

Después de centrar, se puede suponer que las dos mediciones x y −x son observaciones independientes de una distribución de Cauchy con función de densidad de probabilidad:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Muestre que si el MLE de es 0, pero si hay dos MLE de , igual a ± $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

Creo que para encontrar el MLE tengo que diferenciar la probabilidad de registro:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ + $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Entonces,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

que luego simplifiqué a

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Ahora he golpeado una pared. Probablemente me haya equivocado en algún momento, pero de cualquier manera no estoy seguro de cómo responder la pregunta. ¿Alguien puede ayudar?

— usuario123965
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Por favor, explique por qué dividió x en -x y + x. Esta es mi tarea y me estoy estancando en ese paso. Supongo que le aplicaste el Método Raphson de Newton. Pero no entiendo cómo aplicarlo. ¿Me lo dirás por favor?

— user89929

Hay un error tipográfico matemático en sus cálculos. La condición de primer orden para un máximo es:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

$x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

Si $x^2 >1$ tienes $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ entonces, aparte del punto candidato $\theta =0$ también obtienes

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0 0, para \hat{θ} = \pm \sqrt{X^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

También tienes que justificar por qué en este caso $\hat \theta =0$ ya no es un MLE.

APÉNDICE

por $x =\pm 0.5$ la gráfica del log-verosimilitud es enter image description here

mientras que para $x =\pm 1.5$ la gráfica de la probabilidad logarítmica es, enter image description here

Ahora todo lo que tiene que hacer es demostrarlo algebraicamente y luego preguntarse "¿Bien, cuál de los dos debería elegir?"

— Alecos Papadopoulos
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¡Gracias! No puedo ver por que

θ = 0

$\theta=0$ sin embargo, ya no sería un MLE

— user123965

Trabaje la condición de segundo orden para un máximo, o evalúe la probabilidad en las soluciones candidatas

— Alecos Papadopoulos

+1 gran respuesta. Además, esto puede ser interesante: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— random_user

@random_user ¡Gracias! - Me tomé la libertad de incorporar la trama en la respuesta.

— Alecos Papadopoulos

Segunda derivada positiva, por lo tanto, un mínimo local

— Alecos Papadopoulos