Cómo interpretar parámetros en GLM con familia = Gamma

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Tengo una pregunta con respecto a la interpretación de parámetros para un GLM con una variable dependiente distribuida gamma. Esto es lo que R devuelve para mi GLM con un enlace de registro:

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

¿Cómo interpreto los parámetros? Si calculo exp(coef())mi modelo, obtengo ~ 500 para la intercepción. Ahora creo que eso no significa el ingreso esperado si todas las demás variables se mantienen constantes, ¿verdad? Dado que el promedio o se mean(age)encuentra en ~ 2000. Además, no tengo idea de cómo interpretar la dirección y el valor de los coeficientes de las covariables.

r generalized-linear-model interpretation gamma-distribution

— gung - Restablece a Monica
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500 estaría cerca del ingreso esperado si todas las demás variables fueran exactamente cero (no simplemente constantes) --- al igual que en la regresión, en realidad.

— Glen_b -Reinstale a Monica

@Glen_b ¿por qué sería un ingreso esperado cuando exponencial de coeficientes es el efecto multiplicativo sobre el ingreso cuando hay un cambio en la variable explicativa?

— tatami

El caso en discusión es la media condicional cuando todas las variables explicativas son 0.

— Glen_b -Reinstate Monica

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La especificación de GLM gamma vinculada al registro es idéntica a la regresión exponencial:

E [y | x, z] = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) = \hat{y}

$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$

Esto significa que $E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

$y$ $x$ $x$

\frac{\partial E [y | x, z]}{\partial x} = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot β = \hat{y} \cdot β

$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$

$x$ $z$ $x$ $z$ $\hat y \cdot \beta$ $x$ $y$

$x$

E [y | z, x = 1] - E [y | z, x = 0] = \exp (α + β + γ \cdot z) - \exp (α + γ \cdot z) = \exp (α + γ \cdot z) \cdot (\exp (β) - 1)

$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$

$x$

El tercer método es exponer los coeficientes. Tenga en cuenta que:

\begin{matrix} E [y | z, x + 1] & = \exp (α + β \cdot (x + 1) + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + β + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot \exp (β) \\ = E [y | z, x] \cdot \exp (β) \end{matrix}

$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$

$x$

— Dimitriy V. Masterov
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¿Serías capaz de ilustrar la segunda interpretación?

— tatami

@tatami Solucioné un error en el caso binario. ¿Tiene más sentido ahora?

— Dimitriy V. Masterov

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Primero, miraría los residuos para ver qué tan bien se ajusta el modelo. Si está bien, intentaría usar otras funciones de enlace a menos que tuviera razones para creer que realmente proviene de una distribución gamma. Si el gamma aún luciera convincente, concluiría que los términos estadísticamente significativos son intercepción, altura, educación, sexo y escuela secundaria (los marcados con tres estrellas). Entre ellos no se puede decir más a menos que estén estandarizados (tengan el mismo rango).

Respuesta al comentario: ahora entiendo mejor tu pregunta. ¡Absolutamente puedes hacer eso! Un aumento de la unidad en la altura causa una exp (0.0082530) -1 ~ = 0.0082530 (usando la aproximación exp x = 1 + x para x pequeña) relativa del cambio en el ingreso. Muy fácil de interpretar, ¿no?

— Emre
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Entonces, ¿no puedo interpretar los parámetros, por ejemplo, el ingreso aumenta en xy si la altura aumenta en uno?

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Creo que ahora tengo que interpretarlo multiplicativamente: exp (Intercepción) * exp (altura) sería el ingreso con un aumento de 1 unidad de altura. ¡Gracias de todos modos! :)