¿Cuál es el propósito de las funciones características?

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Espero que alguien pueda explicar, en términos simples, qué es una función característica y cómo se usa en la práctica. He leído que es la transformación de Fourier del pdf, así que supongo que sé lo que es, pero todavía no entiendo su propósito. Si alguien pudiera proporcionar una descripción intuitiva de su propósito y quizás un ejemplo de cómo se usa típicamente, ¡eso sería fantástico!

Solo una última nota: he visto la página de Wikipedia , pero aparentemente soy demasiado denso para entender lo que está sucediendo. Lo que estoy buscando es una explicación que alguien que no esté inmerso en las maravillas de la teoría de la probabilidad, dice un científico de la computación, pueda entender.

probability mathematical-statistics characteristic-function

— Mella
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En el pasado, las personas usaban tablas de logaritmos para multiplicar números más rápido. ¿Por qué es esto? Los logaritmos convierten la multiplicación en suma, ya que . Entonces, para multiplicar dos números grandes y , encontraste sus logaritmos, agregaste los logaritmos, , y luego buscaste en otra tabla. $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ $a$ $b$ $z = \log(a) + \log(b)$ $\exp(z)$

Ahora, las funciones características hacen algo similar para las distribuciones de probabilidad. Supongamos que tiene una distribución e tiene una distribución , y e son independientes. Entonces la distribución de es la convolución de y , . $X$ $f$ $Y$ $g$ $X$ $Y$ $X+Y$ $f$ $g$ $f * g$

Ahora, la función característica es una analogía del "truco de la tabla de logaritmos" para convolución, ya que si es la función característica de , entonces se cumple la siguiente relación: $\phi_f$ $f$

ϕ_{f} ϕ_{g} = ϕ_{f * g}

$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$

Además, también como en el caso de los logaritmos, es fácil encontrar el inverso de la función característica: dado donde es una densidad desconocida, podemos obtener mediante la transformada inversa de Fourier de . $\phi_h$ $h$ $h$ $\phi_h$

La función característica convierte la convolución en multiplicación para las funciones de densidad de la misma manera que los logaritmos convierten la multiplicación en suma para los números. Ambas transformaciones convierten una operación relativamente complicada en una relativamente simple.

— charles.y.zheng
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Otros elementos que vale la pena mencionar: (a) Recuperación de momentos mediante diferenciación, (b) el hecho de que todas las distribuciones tienen funciones características (en comparación con las funciones generadoras de momentos), (c) La correspondencia (esencialmente) uno a uno entre distribuciones y sus funciones características, y (d) el hecho de que muchas distribuciones relativamente comunes tienen funciones características conocidas pero no se conocen expresiones para la densidad (por ejemplo, distribuciones estables de Levy).

— cardenal

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Buenos comentarios, @cardinal. Por favor considere convertirlos en una respuesta real.

— whuber

Para aquellos de ustedes que entienden este tema, ¿está relacionado con las ecuaciones características, como se usa con las relaciones de recurrencia (es decir, en Knuth's Concrete Math)? Supongo que son muy diferentes y solo comparten la palabra "característica" por casualidad, pero pensé en preguntar.

— Wayne

@Wayne deberías publicar esto como una pregunta. Creo que hay una conexión estrecha: las funciones características surgen de la Transformada de Fourier, que es la Transformación Gelfand relacionada con las distribuciones en la línea real. La ecuación característica de una relación de recurrencia parece surgir de la función generadora de probabilidad, que es la transformación Gelfand asociada con los números naturales. Se puede considerar que las variables en las relaciones de recurrencia toman valores en pasos de tiempo discretos, es decir, números naturales.

— Cantorhead

@Wayne ... Entonces, creo que el operador que toma una variable en una relación de recurrencia con su ecuación característica puede considerarse como la "Transformada de Fourier" relacionada con las distribuciones en los números naturales. Busqué y no encontré esta pregunta, pero estaría muy interesado en ver las respuestas si la publicaste.

— cantorhead

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@ charles.y.zheng y @cardinal dieron muy buenas respuestas, agregaré mis dos centavos. Sí, la función característica puede parecer una complicación innecesaria, pero es una herramienta poderosa que puede obtener resultados. Si está tratando de probar algo con la función de distribución acumulativa, siempre es aconsejable verificar si no es posible obtener el resultado con la función característica. Esto a veces da pruebas muy cortas.

Aunque al principio la función característica parece una forma poco intuitiva de trabajar con distribuciones de probabilidad, hay algunos resultados poderosos directamente relacionados con ella, lo que implica que no puede descartar este concepto como una mera diversión matemática. Por ejemplo, mi resultado favorito en la teoría de la probabilidad es que cualquier distribución infinitamente divisible tiene la representación única de Lévy-Khintchine . Combinado con el hecho de que las distribuciones infinitamente divisibles son la única distribución posible para límites de sumas de variables aleatorias independientes (excluyendo casos extraños), este es un resultado profundo utilizando el teorema del límite central.

— mpiktas
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El propósito de las funciones características es que pueden usarse para derivar las propiedades de las distribuciones en la teoría de probabilidad. Si no está interesado en tales derivaciones, no necesita aprender sobre las funciones características.

— una parada
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Supongo que podría estar interesado en tales derivaciones. Simplemente no entiendo por qué necesitamos ir a la función característica. ¿Por qué es más fácil que tratar directamente con el pdf / cdf?

— Nick

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@Nick Esto tiene un poco de elemento folklórico, como "esto es tan elegante que esta es LA representación de algún concepto de distribución, ...". Por supuesto, ayuda con algunas matemáticas, por lo que no es solo un juguete redundante, sino que para un uso diario corresponde a un físico que obliga a

a un problema clásico solo para usar una estructura fina constante.

ℏ

$\hbar$

No necesitamos usarlos. Solo dije que se pueden usar. A veces dan una derivación más rápida, a veces no son de ninguna ayuda. Si una derivación es "más fácil" depende de lo que ya sabe; si aún no conoce las funciones características, no será más fácil. En algunos casos, las funciones generadoras de momentos proporcionan una alternativa y tienen una interpretación más directa.

— parada el

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La función característica es la transformada de Fourier de la función de densidad de la distribución. Si tiene alguna intuición con respecto a las transformadas de Fourier, este hecho puede ser esclarecedor. La historia común sobre las transformadas de Fourier es que describen la función 'en el espacio de frecuencias'. Dado que una densidad de probabilidad suele ser unimodal (al menos en el mundo real o en los modelos hechos sobre el mundo real), esto no parece terriblemente interesante.

— shabbychef
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Nota : Un editor potencial afirma que la "función característica es la transformada inversa de Fourier".

— gung - Restablece a Monica

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La transformación de Fourier es una descomposición de la función (no periódica) en sus frecuencias. Interpretación para densidades?

La transformación de Fourier es la versión continua de una serie de Fourier ya que ninguna densidad es periódica, no hay expresión como "serie característica".

— niko schmith
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