TRATAMIENTO INFORMAL
Debemos recordar que la notación donde condicionamos las variables aleatorias es inexacta, aunque económica, como notación. En realidad, condicionamos el álgebra sigma que generan estas variables aleatorias. En otras palabras, significa . Esta observación puede parecer fuera de lugar en un "Tratamiento informal", pero nos recuerda que nuestras entidades de condicionamiento son colecciones de conjuntos (y cuando condicionamos un solo valor, entonces este es un conjunto único). ¿Y qué contienen estos conjuntos? Contienen la información con la que los valores posibles de la variable aleatoria nos proporcionan sobre lo que puede suceder con la realización de .E[Y∣X]E[Y∣σ(X)]XY
Introducir el concepto de Información, nos permite pensar (y usar) la Ley de Expectativas Iteradas (a veces llamada "Propiedad de la Torre") de una manera muy intuitiva:
el álgebra sigma generado por dos variables aleatorias, es al menos como grande como el generado por una variable aleatoria: en el significado teórico de conjuntos adecuado. Entonces, la información sobre contenida en es al menos tan grande como la información correspondiente en .
Ahora, como insinuación de notación, establezca y . Luego se puede escribir el LHS de la ecuación que estamos viendoσ(X)⊆σ(X,Z)Yσ(X,Z)σ(X)
σ(X)≡Ixσ(X,Z)≡Ixz
E[E(Y|Ixz)|Ix]
Describiendo verbalmente la expresión anterior que tenemos: "¿cuál es la expectativa de {el valor esperado de dada la información } propuesta que tenemos información disponible
única ?"
YIxzIx
¿Podemos de alguna manera "tener en cuenta" ? No, solo sabemos . Pero si usamos lo que tenemos (ya que estamos obligados por la expresión que queremos resolver), entonces esencialmente estamos diciendo cosas sobre bajo el operador de expectativas, es decir, decimos " ", no más - acabamos de agotar nuestra información.IxzIxYE(Y∣Ix)
Por lo tanto,
E[E(Y|Ixz)|Ix]=E(Y|Ix)
Si alguien más no lo hace, volveré para el tratamiento formal.
Un (poco más) TRATAMIENTO FORMAL
Veamos cómo dos libros muy importantes de teoría de la probabilidad, Probabilidad y Medida de P. Billingsley (3d ed.-1995) y D. Williams "Probabilidad con Martingales" (1991), tratan la cuestión de probar la "Ley de Expectativas Iteradas":
Billingsley dedica exactamente tres líneas a la prueba. Williams, y cito, dice
"(la Propiedad de la Torre) es prácticamente inmediata desde la definición de expectativa condicional".
Esa es una línea de texto. La prueba de Billingsley no es menos opaca.
Por supuesto, tienen razón: esta propiedad importante y muy intuitiva de la expectativa condicional deriva esencialmente directamente (y casi de inmediato) de su definición: el único problema es que sospecho que esta definición no se enseña, o al menos no se destaca, fuera de la probabilidad o medir círculos teóricos. Pero para mostrar (casi) tres líneas que contiene la Ley de Expectativas Iteradas, necesitamos la definición de expectativa condicional, o más bien, su propiedad definitoria .
Deje un espacio de probabilidad , y una variable aleatoria integrable . Let ser un sub álgebra de , . Entonces existe una función que es medible, es integrable y (esta es la propiedad definitoria)(Ω,F,P)YGσFG⊆FWG
E(W⋅1G)=E(Y⋅1G)∀G∈G[1]
donde es la función de indicador del conjunto . Decimos que es ("una versión de") la expectativa condicional de dada , y escribimos
El detalle crítico a tener en cuenta aquí es que la expectativa condicional , tiene el mismo valor esperado como lo hace, no sólo por toda la , pero en cada subconjunto de .1GGWYGW=E(Y∣G)a.s.
YGGG
(Intentaré ahora presentar cómo la propiedad de la Torre se deriva de la definición de expectativa condicional).
W es una variable aleatoria medible. Considere a continuación, algunos sub álgebra, por ejemplo . Entonces . Entonces, de manera análoga a la anterior, tenemos la expectativa condicional de dado , digamos que eso se caracteriza por GσH⊆GG∈H⇒G∈GWHU=E(W∣H)a.s.
E(U⋅1G)=E(W⋅1G)∀G∈H[2]
Como , las ecuaciones y nos danH⊆G[1][2]
E(U⋅1G)=E(Y⋅1G)∀G∈H[3]
Pero esta es la propiedad definitoria de la expectativa condicional de dado . YHEntonces tenemos derecho a escribir
Como también tenemos por construcción , acabamos de demostrar la propiedad de la Torre, o el forma general de la Ley de Expectativas Iteradas - en ocho líneas.U=E(Y∣H)a.s.
U=E(W∣H)=E(E[Y∣G]∣H)