Mi principal preocupación en esta pregunta era si uno podría aplicar el CLT "como de costumbre" en el caso que estoy examinando. El usuario @Henry afirmó que se puede, el usuario @Zen lo mostró a través de una simulación. Alentado así, ahora lo probaré analíticamente.
Lo que voy a hacer primero es verificar que esta variable con la distribución mixta tenga una función de generación de momentos "habitual". Denote el valor esperado de , su desviación estándar, y la versión centrada y escalada de por .
Aplicando la fórmula de cambio de variable, encontramos que la parte continua es
La función generadora de momento de debe ser
Z i σ i Z i ˜ Z i = Z i - μ iμiZiσiZi f ˜ Z ( ˜ z i)=σifZ(zi)=σiZ~i=Zi−μiσi
˜ Z i ˜ M i(t)=E(e ˜ z it)=∫ ∞ - ∞ e ˜ z itdF ˜ Z ( ˜ z i)=∫ ˜ k i ˜ a i σie ˜ z i t
fZ~(z~i)=σifZ(zi)=σibi−ai
Z~iM~i(t)=E(ez~it)=∫∞−∞ez~itdFZ~(z~i)=∫k~ia~iσiez~itbi−aidzi+cek~it
˜ k i=ki-μi
⇒M~i(t)=σibi−aiek~it−ea~itt+cek~it
con
k~i=ki−μiσi,a~i=ai−μiσi
Usando primos para denotar derivados, si hemos especificado la función de generación de momento correctamente, entonces deberíamos obtener
desde esto es una variable aleatoria centrada y escalada.
Y, de hecho, al calcular derivados, aplicando la regla de L'Hopital muchas veces (dado que el valor del MGF en cero debe calcularse a través de límites), y haciendo manipulaciones algebraicas, he verificado las dos primeras igualdades. La tercera igualdad resultó demasiado agotadora, pero confío en que se mantenga.
M~i(0)=1,M~′i(0)=E(Z~)=0⇒M~′′i(0)=E(Z~2i)=Var(Z~i)=1
Entonces tenemos un MGF adecuado. Si tomamos su expansión Taylor de segundo orden alrededor de cero, tenemos
M~(t)=M~(0)+M~′(0)t+12M~′′(0)t2+o(t2)
⇒M~(t)=1+12t2+o(t2)
Esto implica que la característica función es (aquí representa la unidad imaginaria)
.i
ϕ~(t)=1+12(it)2+o(t2)=1−12t2+o(t2)
Por las propiedades de la función característica , tenemos que la función característica de es igual aZ~/n−−√
ϕ~Z~/n√(t)=ϕ~Z~(t/n−−√)=1−t22n+o(t2/n)
y dado que tenemos variables aleatorias independientes, la función característica de
es1n√∑niZ~i
ϕ~1n√∑niZ~i(t)=∏i=1nϕ~Z~(t/n−−√)=∏i=1n(1−t22n+o(t2/n))
Entonces
limn→∞ϕ~1n√∑niZ~i(t)=limn→∞(1−t22n)n=e−t2/2
por cómo se representa el númeroe . Sucede que el último término es la función característica de la distribución normal estándar, y según el teorema de continuidad de Levy , tenemos que
1n−−√∑inZ~i→dN(0,1)
cual es el CLT. Tenga en cuenta que el hecho de que las variables no están distribuidas de forma idéntica, "desaparecieron" de la vista una vez que consideramos sus versiones centradas y escaladas y consideramos la expansión Taylor de segundo orden de su MGF / CHF: en ese nivel de aproximación, estas funciones son idénticos, y todas las diferencias se compactan en los términos restantes que desaparecen asintóticamente. Z
Sin embargo, el hecho de que el comportamiento idiosincrásico a nivel individual, de todos los elementos individuales, desaparezca cuando consideramos el comportamiento promedio, creo que se muestra muy bien usando una criatura desagradable como una variable aleatoria que tiene una distribución mixta.