Muestreo de Gibbs para el modelo Ising

Pregunta de tarea:

Considere el modelo Ising 1-d.

Deje . es -1 o +1 $x = (x_1,...x_d)$ $x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

Diseñe un algoritmo de muestreo de gibbs para generar muestras aproximadamente a partir de la distribución objetivo . $\pi(x)$

Mi intento:

Elija aleatoriamente valores (-1 o 1) para llenar el vector . Entonces tal vez . Entonces esto es . $x = (x_1,...x_{40})$ $x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$ $x^0$

Así que ahora tenemos que seguir adelante y hacer la primera iteración. Tenemos que dibujar las 40 x diferentes para separado. Entonces... $x^1$

Dibuje de $x_1^1$ $\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

Dibuje de $x_2^1$ $\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

Dibuje de $x_3^1$ $\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

Etc ..

Entonces, la parte que me está tropezando es cómo realmente sacamos de la distribución condicional. ¿Cómo entra en juego? Quizás un ejemplo de un empate aclararía las cosas. $\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

— Collin
fuente

Mira este caso primero. Hemos eliminado los términos que no dependen de . $x_1$

π (x_{1} ∣ x_{2}, \dots, x_{d}) = \frac{π (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d})}{π (x_{2}, \dots, x_{d})} \propto e^{x_{1} x_{2}}

$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$

P (X_{1} = - 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{- x_{2}}}{C}

$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$

P (X_{1} = 1 ∣ X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \frac{e^{x_{2}}}{C}

$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$

\frac{e^{- x_{2}}}{C} + \frac{e^{x_{2}}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_{2}

$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

Generalízalo a (toma nota de las diferencias; mira el comentario de Ilmari a continuación). $x_2,\dots,x_{40}$

¿Puedes usar los resultados analíticos de Ising para verificar tu simulación?

— zen
fuente

Por lo tanto, solo depende del valor inmediatamente anterior en el vector, es decir, el único término que depende de es , el único término que depende de es , etc. ¿Qué pasa con el caso? de ? ¿Cómo lo dibujamos ya que la distribución condicional solo parece aplicarse para a 39?

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{23}

$x_{23}$

x_{24}

$x_{24}$

x_{40}

$x_{40}$

i = 1

$i=1$

— Collin el

@ user2079802: No, para hasta obtienes dos términos en el exponente: . Pero aún es bastante fácil evaluar eso para .

x_{2}

$x_2$

x_{39}

$x_{39}$

π (x_{i} ∣ x_{1}, \dots, x_{i - 1}; x_{i + 1}, \dots, x_{d})

$\pi(x_i\mid x_1,\dotsc,x_{i-1}; x_{i+1},\dotsc,x_d)$

\propto

$\propto$

\exp (x_{i - 1} x_{i} + x_{i} x_{i + 1})

$\exp(x_{i-1} x_i+x_i x_{i+1})$

x_{i} = \pm 1

$x_i=\pm1$

— Ilmari Karonen