¿Qué significa 'altamente no lineal'?

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A menudo leo sobre una función que es 'altamente no lineal'. En mi opinión, hay "lineal" y "no lineal", entonces, ¿de qué se trata esto 'altamente'? ¿Hay una diferencia formal de no lineal? ¿Cómo se define?

terminology nonlinear mathematical-statistics

— Toby El Tejedor
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Informalmente: "No espere poder asignar fácilmente el cambio en la entrada para cambiar en la salida".

— keshlam

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¿Leíste esto en un artículo sobre Deep Learning? La aproximación de funciones altamente no lineales es una de las motivaciones para el aprendizaje profundo porque una red superficial tiene dificultades para modelar el tipo de cosas que Joe describe en su respuesta.

— Neil G

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Yo diría que depende de dónde lo leas. Si esto está escrito por personas expertas en matemáticas, entonces podría significar lo que proporcionan las respuestas aquí (hasta ahora). Si fue escrito por un profesional, como un médico o un biólogo, podría significar que la relación no es recta, sino altamente curva. En mi experiencia, la mayoría de la gente piensa que la regresión lineal se refiere al ajuste de líneas rectas a los datos, lo que podría ser parte de la fuente de la confusión.

— Roman Luštrik

No, no lo hice @NeilG.

— Toby El Tejedor

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No es un término definido individualmente: un físico tenderá a tomar un significado bastante diferente del término que un criptógrafo. Sin más contexto, esta pregunta no puede ser respondida adecuadamente: estaríamos adivinando el contexto (o tendríamos que dar cuenta de cada uno).

— Glen_b -Reinstate Monica

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No creo que haya una definición formal. Tengo la impresión de que simplemente significa que no solo es no lineal, sino que intentar modelarlo con una aproximación lineal no producirá resultados razonables e incluso puede causar inestabilidad en el método de ajuste. Alguien también puede usarlo para significar simplemente que pequeños cambios de entrada pueden resultar en cambios contraintuitivamente grandes en la salida.

— Wayne
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(+1) por ofrecer un criterio / contenido muy sensible para "altamente no lineal" (esa aproximación lineal puede empeorar las cosas).

— Alecos Papadopoulos

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En un sentido formal, creo que se podría decir que la segunda derivada difiere sustancialmente de cero. Si 0 fuera una aproximación "razonable" a la segunda derivada sobre el dominio de interés, es cercano a lineal, pero si no lo es, los efectos no lineales se vuelven muy importantes para capturar.

Rara vez he escuchado que términos como este se aplican a polinomios relativamente simples, a menudo en el uso práctico parece aplicarse a sistemas dinámicos divergentes (cosas del tipo de teoría del caos), o funciones muy no uniformes (donde las derivadas de orden superior son distintas de cero) )

— Joe
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Por cierto, "suave" realmente es un término técnico, lo que significa que cada derivado existe. x -> e^xes suave a pesar de que sus derivados de todos los pedidos están en todas partes distintos de cero :-)

— Steve Jessop

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El aspecto importante que falta en las otras excelentes respuestas es el dominio . Por ejemplo, es $f(x)=x^2$

altamente no lineal en pero $[-10;10]$
no en ninguna de las dos partes del dominio (es decir, tanto en como en se puede utilizar una aproximación lineal de sin un desastre inmediato). $[-10;0]$ $[0;10]$ $f$

Otro ejemplo es que es $f(x)=x^3-x$

altamente no lineal en pero $[-1;1]$
no en el dominio más grande $[-10;;10]$

— sds
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No estoy de acuerdo con . Siempre es altamente no lineal alrededor de 0. Considere , donde . ¿Cómo es esto lineal para ti? Ni siquiera tiene un término lineal (obviamente), no se puede aproximar linealmente en absoluto.

x^{2}

$x^2$

x = [0.1, 0.2, 0.3]

$x =[0.1,0.2,0.3]$

f (x) = [0.01, 0.04, 0.09]

$f(x)=[0.01,0.04,0.09]$

— Aksakal

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@ Aksakal: la función ciertamente no es lineal (en cualquier lugar), pero, como dije, "posiblemente se puede usar una aproximación lineal de f sin un desastre inmediato"

— sds

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Cualquier función puede ser aproximada por una línea, es solo una cuestión de qué tan mala es la aproximación. Y en x \ en [0, 0.5], el error no es tan malo.

— Joe

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Como otros mencionaron, no creo que haya una definición formal. Lo definiría como una función que no puede aproximarse linealmente en el rango típico de perturbaciones del argumento. Por ejemplo, tienes y . Entonces, si la aproximación rompe, entonces es altamente no lineal. Por ejemplo, sería altamente no lineal para cualquier alrededor de cero, porque sus series de Taylor son . $y=f(x)$ $\sigma^2=var[x]$ $f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$ $f(x)=exp(x^2)$ $x$ $1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

— Aksakal
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Informalmente ... "altamente no lineal" significa "¡incluso un ciego puede ver que no es una línea recta!" ;) Personalmente, lo tomo como una señal de peligro, que de alguna manera "explotará en tu cara" cuando se usa con ejemplos del mundo real.

La Torre de Hanoi podría llamarse un ejemplo de altamente no lineal ... la leyenda es que cuando los monjes terminen una pila de 64 discos, el mundo terminará. Si cuenta el tiempo total dedicado a la capacitación, la alimentación, la vivienda y la motivación de todos para apoyar una tarea multigeneracional inútil, aburrida e ingrata, ¡esperaría que el costo total en horas hombre realmente explote!

— iheggie
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Como matemático profesional, puedo confirmar que "altamente no lineal" no es un término matemático definido con precisión. :)

Y nada de "altamente nada" en lo que pueda pensar.

No lineal es preciso y opuesto a lineal (obviamente).

Pero lineal ocurre en dos significados diferentes:

$f(x) = ax+b$ se llama función lineal
solo la función (sin término constante ) se llama lineal $f(x) = ax$ $b$

Para enfatizar la diferencia y la presencia del término constante, la primera función también se llama afín $(ax + b)$

— Dmitri Zaitsev
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Hasta ahora, esta es la única respuesta, estoy de acuerdo;) (+1) por ser de la vieja escuela!

— Raaja