Resumen
El modelo simple de que todos los nacimientos independientemente tienen un 50% de posibilidades de ser niñas no es realista y, como resultado, excepcional. Tan pronto como consideramos las consecuencias de la variación en los resultados entre la población, la respuesta es que la relación niña: niño puede ser cualquiera valor que no exceda 1: 1. (En realidad, probablemente todavía estaría cerca de 1: 1, pero eso es una cuestión que el análisis de datos debe determinar).
Debido a que estas dos respuestas en conflicto se obtienen asumiendo independencia estadística de los resultados del nacimiento, una apelación a la independencia es una explicación insuficiente. Por lo tanto, parece que la variación (en las posibilidades de nacimientos femeninos) es la idea clave detrás de la paradoja.
Introducción
Una paradoja ocurre cuando creemos que tenemos buenas razones para creer algo, pero nos enfrentamos a un argumento sólido de lo contrario.
Una resolución satisfactoria a una paradoja nos ayuda a comprender lo que estaba bien y lo que pudo haber estado mal en ambos argumentos. Como suele ser el caso en probabilidad y estadística, ambos argumentos pueden ser válidos: la resolución dependerá de las diferencias entre los supuestos que se hacen implícitamente. Comparar estos supuestos diferentes puede ayudarnos a identificar qué aspectos de la situación conducen a diferentes respuestas. Identificar estos aspectos, mantengo, es lo que más debemos valorar.
Supuestos
Como se desprende de todas las respuestas publicadas hasta ahora, es natural suponer que los nacimientos de mujeres se producen de forma independiente y con constantes las probabilidades de . Es bien sabido que ninguno de los supuestos es realmente cierto, pero parecería que ligeras desviaciones de estos supuestos no deberían afectar mucho la respuesta. Dejanos ver. Para este fin, considere el siguiente modelo más general y más realista:1 / 2
En cada familia la probabilidad de un parto femenino es una constante p i , independientemente del orden de nacimiento.yopagsyo
En ausencia de una regla de detención, el número esperado de nacimientos femeninos en la población debe ser cercano al número esperado de nacimientos masculinos.
Todos los resultados de nacimiento son (estadísticamente) independientes.
Este todavía no es un modelo completamente realista de nacimientos humanos, en el cual la puede variar con la edad de los padres (particularmente la madre). Sin embargo, es lo suficientemente realista y flexible como para proporcionar una resolución satisfactoria de la paradoja que se aplicará incluso a modelos más generales.pagsyo
Análisis
Aunque es interesante realizar un análisis exhaustivo de este modelo, los puntos principales se hacen evidentes incluso cuando se considera una versión específica, simple (pero algo extrema). Supongamos que la población tiene familias. En la mitad de ellos la posibilidad de un nacimiento femenino es 2 / 3 y en la otra mitad el riesgo de un nacimiento femenino es 1 / 3 . Esto claramente satisface la condición (2): el número esperado de nacimientos de mujeres y hombres es el mismo.2 N2 / 31 / 3
Considere esas primeras familias. Razonemos en términos de expectativas, entendiendo que los resultados reales serán aleatorios y, por lo tanto, variarán un poco de las expectativas. (La idea detrás del siguiente análisis se transmitió de manera más breve y simple en la respuesta original que aparece al final de esta publicación).norte
Sea el número esperado de nacimientos femeninos en una población de N con probabilidad constante de nacimientos femeninos p . Obviamente, esto es proporcional a N y así se puede escribir f ( N , p ) = f ( p ) N . Del mismo modo, sea m ( p ) N el número esperado de nacimientos masculinos.F( N, p )nortepagsnorteF( N, p ) = f( p ) Nm ( p ) N
Las primeras familias producen una niña y se detienen. Las otras ( 1 - p ) familias N producen un niño y continúan teniendo hijos. Eso es p N niñas y ( 1 - p ) N niños hasta ahora.p N(1−p)NpN(1−p)N
Las familias restantes están en la misma posición que antes:(1−p)N el supuesto de independencia (3) implica que lo que experimentan en el futuro no se ve afectado por el hecho de que su primogénito era un hijo. Por lo tanto, estas familias producirán más niñas ym ( p ) [ ( 1 - p ) N ] más niños.f(p)[(1−p)N]m(p)[(1−p)N]
Sumando las chicas totales y chicos totales y en comparación con sus valores asumidos de y m ( p ) N da ecuacionesf(p)Nm(p)N
f(p)N=pN+f(p)(1−p)N and m(p)N=(1−p)N+m(p)(1−p)N
con soluciones
f(p)=1 and m(p)=1p−1.
El número esperado de niñas en los primeros familias, con p = 2 / 3 , por lo tanto es f ( 2 / 3 ) N = N y el número esperado de los niños es m ( 2 / 3 ) N = N / 2 .Np=2/3f(2/3)N=Nm(2/3)N=N/2
Np=1/3f(1/3)N=Nm(1/3)N=2N
(1+1)N=2N(1/2+2)N=(5/2)NN
E(# girls# boys)≈2N(5/2)N=45.
¡La regla de detención favorece a los niños!
p1−pN
2p(1−p)1−2p(1−p).
p010111p=1/2
Resolución
Si su intuición es que detenerse con la primera niña debería producir más niños en la población, entonces está en lo correcto, como lo muestra este ejemplo. Para estar en lo correcto, todo lo que necesita es que la probabilidad de dar a luz a una niña varía (incluso solo un poco) entre las familias.
La respuesta "oficial", que la proporción debe ser cercana a 1: 1, requiere varios supuestos poco realistas y es sensible a ellos: supone que no puede haber variación entre las familias y todos los nacimientos deben ser independientes.
Comentarios
La idea clave destacada por este análisis es que la variación dentro de la población tiene consecuencias importantes. La independencia de los nacimientos, aunque es una suposición simplificadora utilizada para cada análisis en este hilo, no resuelve la paradoja, porque (dependiendo de las otras suposiciones) es consistente tanto con la respuesta oficial como con su opuesto.
pipipi
Si reemplazamos el género por alguna otra expresión genética, entonces obtenemos una explicación estadística simple de la selección natural : una regla que limita diferencialmente el número de descendientes en función de su composición genética puede alterar sistemáticamente las proporciones de esos genes en la próxima generación. Cuando el gen no está ligado al sexo, incluso un pequeño efecto se propagará de forma multiplicativa a través de generaciones sucesivas y puede aumentar rápidamente.
Respuesta original
Cada niño tiene un orden de nacimiento: primogénito, segundo nacido, etc.
Suponiendo probabilidades iguales de nacimientos masculinos y femeninos y sin correlaciones entre los géneros, la Ley Débil de Números Grandes afirma que habrá una proporción cercana a 1: 1 de mujeres primogénitas a hombres. Por la misma razón, habrá una proporción cercana a 1: 1 de segundas hembras a machos, y así sucesivamente. Debido a que estas proporciones son constantemente 1: 1, la proporción general también debe ser 1: 1, independientemente de cuáles sean las frecuencias relativas de los órdenes de nacimiento en la población.