¿Cuál es la función de autocorrelación de una serie temporal que surge del cálculo de una desviación estándar móvil?

Digamos que tengo una serie temporal de observaciones y calculo una medida de la varianza de esa serie temporal como la desviación estándar (SD) en una ventana móvil de ancho y esa ventana se mueve en pasos de tiempo únicos sobre la serie. Suponga además que , donde es el número de observaciones, y que la ventana está alineada a la derecha; Tengo que observar los valores de de la serie antes de comenzar a generar estimaciones de ventana móvil de la SD de la serie de tiempo. $w$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$ $n$ $w = \left \lceil{n/2}\right \rceil$

¿Existe una forma esperada para el ACF de la nueva serie temporal de valores SD? Supongo que la dependencia de los valores anteriores se relacionará con la ventana con , pero ¿el ACF de una serie de este tipo está relacionado con el ACF de un proceso ? $w$ $\mathrm{MA}(w)$

Antecedentes

Estoy tratando de pensar en las implicaciones de derivar una serie de tiempo de la varianza de la serie de tiempo original a través de ventanas móviles. Después de calcular la serie derivada de valores SD, el siguiente paso que se aplica comúnmente es ver si hay alguna tendencia en la serie derivada de valores SD. Como cada valor de la serie derivada depende en cierta medida de los valores anteriores de la serie original, los valores de la serie derivada no son independientes. Por lo tanto, una pregunta que surge con frecuencia es cómo explicar esa falta de independencia.

Tales cálculos (las ventanas móviles) a menudo se realizan en series temporales para buscar evidencia de indicadores (variación creciente, coeficiente AR (1) creciente) de respuesta umbral inminente (llamadas transiciones críticas).

time-series autocorrelation moving-window

— Gavin Simpson
fuente

¿Se sabe algo sobre la dependencia en la serie en la que se calcula la desviación estándar móvil? ¿Es ese el que mencionas? (en realidad no está claro si se pretende hacer referencia a la serie original o la serie SD, al menos no a mí).

MA (w)

$\text{MA}(w)$

— Glen_b -Reinstalar Monica

@Glen_b Podríamos ajustar un a la serie original, pero me preguntaba si, porque la serie original es realmente residual después de que se haya estimado y eliminado cualquier tendencia, calculando la media en la ventana móvil (en de la misma manera que describí anteriormente para el SD) daría algo así como un proceso de MA y, por lo tanto, si hubiera un enlace similar de modo que el SD en movimiento tuviera ACF con propiedades similares al proceso de MA (correlaciones significativas en los retrasos hasta ) .

m a t h r m M A (q)

$mathrm{MA}(q)$

q

$q$

— Gavin Simpson

Después de haber leído un poco más de fondo en los modelos para la varianza de una serie, me pregunto si no sería mejor en general solo adaptarse a ese modelo que preocuparse por los bits de la ventana móvil. Un (G) ARCH o un modelo de volatilidad estocástica parece apropiado para eso en este momento, pero no estoy seguro de cómo mostraría que esa variación aumenta con uno de estos modelos. Pero eso es para un Q&A diferente. Todavía estoy muy interesado en cualquier pensamiento sobre la Q aquí, ya que es algo muy frecuente en la búsqueda de señales de advertencia tempranas de una transición inminente en la ecología.

— Gavin Simpson

Es una pregunta muy interesante, pero ya parece tener al menos tanta información como podría ofrecer sin pasar mucho tiempo jugando con ella, y probablemente incluso después de eso. Quizás una de las series de tiempo que la gente tenga más para ofrecer.

— Glen_b -Reinstalar Monica

¿Podemos suponer que la serie original está formada por variables aleatorias gaussianas (normales)?

— Alecos Papadopoulos

El ACF de la desviación estándar rodante generalmente no se puede obtener del ACF de la serie temporal, porque la desviación estándar rodante es fundamentalmente un filtro no lineal.

Para evitar los efectos de límite, tome como un proceso estacionario doblemente infinito con media 0. Como entiendo el cálculo de la ventana móvil introducimos el estimador de varianza móvil que es un promedio de retroceso del proceso al cuadrado . La desviación estándar, siendo , es aún más un filtro no lineal. Sin embargo, es un filtro lineal causal del proceso cuadrado y, por lo tanto, su ACF puede derivarse del ACF de . Si la serie de tiempos es una secuencia de variables iid, también lo es el proceso al cuadrado, en cuyo caso $(X_t)_{t \in\mathbb{Z}}$

s_{t}^{2} = \sum_{i = 0}^{w} \frac{1}{w + 1} X_{t - i}^{2},

$s_t^2 = \sum_{i=0}^w \frac{1}{w+1} X_{t-i}^2,$

s_{t} = \sqrt{s_{t}^{2}}

$s_t = \sqrt{s_t^2}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(X_{t}^{2})_{t \in Z}

$(X_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$

(s_{t}^{2})_{t \in Z}

$(s_t^2)_{t \in \mathbb{Z}}$ es un proceso MA con todos los pesos iguales a . Usando un modelo ARCH (1) podemos, por otro lado, encontrar un ejemplo donde el proceso en sí es un proceso de ruido blanco, pero el proceso al cuadrado no lo es. De hecho, para el modelo ARCH (1), el ACF para el proceso cuadrado coincide con el ACF para un proceso AR (1), en cuyo caso el ACF para la varianza móvil es el mismo que para un promedio móvil de un AR (1 ) proceso.

(w)

$(w)$

1 / (w + 1)

$1/(w+1)$

Claramente, los cálculos anteriores están idealizados, ya que probablemente también usaríamos una media móvil en la práctica para centrar las series de tiempo. Tal como lo veo, esto solo estropearía aún más los cálculos explícitos.

Con suposiciones explícitas sobre la serie de tiempo (estructura ARCH, o una distribución gaussiana) hay una cierta posibilidad de que pueda calcular el ACF para el proceso al cuadrado, y de ahí el ACF para la varianza rodante.

En un nivel más cualitativo, la varianza rodante y la desviación estándar rodante heredarán la ergodicidad y varias propiedades de mezcla de la propia serie temporal. Esto es útil si desea aplicar herramientas generales de análisis de series temporales (no lineales) y procesos estocásticos para evaluar si la desviación estándar móvil es estacionaria (lo que entiendo es de interés).

— NRH
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