¿Puede una distribución multivariada con una matriz de covarianza singular tener una función de densidad?

Suponga que una distribución multivariada sobre tiene una matriz de covarianza singular. ¿Podemos concluir que no tiene una función de densidad?$\mathbb R^n$

Por ejemplo, es el caso de la distribución normal multivariada, pero no estoy seguro de si es cierto para todas las demás distribuciones multivariadas.

Esta es, creo, una cuestión de la existencia del derivado Radon-Nikodym wrt la medida de Lebesgue en , pero la teoría de probabilidad elemental también puede tener la respuesta.$\mathbb R^n$

Una matriz de covarianza singular significa que existe una combinación lineal de las variables aleatorias tales que y . Por lo tanto, toda la masa de probabilidad se encuentra en un hiperplano de definido por y, por lo tanto, las variables aleatorias no pueden tener una función de densidad variable.$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

Sí, pero será una distribución de probabilidad en un subespacio de dimensión inferior. Podría argumentar que es una distribución de probabilidad en R ^ N si permite cosas como las funciones dirac delta. Esa es una cuestión matemática sutil, pero los físicos, por ejemplo, lo hacen todo el tiempo.

Aunque se alude a lo anterior, quiero aclarar que, si bien puede no tener una densidad significativa en , puede definir la densidad en un subespacio dimensional de Rango ( ), donde denota la matriz de covarianza.$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$