¿Por qué la distribución geométrica y la distribución hipergeométrica se llaman así?

¿Por qué la distribución geométrica y la distribución hipergeométrica se denominan "geométrica" e "hipergétrica" respectivamente?

¿Es porque sus pmfs toman alguna forma especial? ¡Gracias!

distributions terminology history

— Tim
fuente

Sí, los términos se refieren a las funciones de masa de probabilidad (pmfs).

Hace 2.500 años, Euclides (en los Libros VIII y IV de sus Elementos ) estudió secuencias de longitudes que tienen proporciones comunes. . En algún momento, tales secuencias se conocieron como "progresiones geométricas" (aunque el término "geométrico" podría haberse aplicado fácilmente a muchas otras series regulares, incluidas las que ahora se llaman "aritméticas").

La función de masa de probabilidad de una distribución geométrica con el parámetro forma una progresión geométrica. $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Aquí la proporción común es . $1-p$

Hace varios cientos de años, una vasta generalización de tales progresiones se hizo importante en los estudios de curvas elípticas, ecuaciones diferenciales y muchas otras áreas de matemáticas profundamente interconectadas. La generalización supone que las proporciones relativas entre términos sucesivos en las posiciones y podrían variar, pero limita la naturaleza de esa variación: las proporciones deben ser una función racional dada de . Debido a que estos "superan" o "superan" la progresión geométrica (para la cual la función racional es constante), se denominaron hipergeométricos a partir del prefijo griego antiguo $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hiper").

La función de masa de probabilidad de una función hipergeométrica con parámetros y tiene la forma $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

para adecuado . Por lo tanto, la razón de probabilidades sucesivas es igual a $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

$k$ $(2,2)$

— whuber
fuente

¡Gracias! ¿Hay otras distribuciones cuyos pmfs también forman progresiones geométricas o hipergeométricas?

— Tim

Si un pmf forma una progresión geométrica, debe ser una distribución geométrica desplazada, reescalada y / o truncada. Si forma una progresión hipergeométrica de grado (2,2), entonces se mantiene una conclusión similar. Hay distribuciones asociadas con cualquier serie que sume a un valor finito, por lo que la distribución hipergeométrica se generaliza a muchas otras distribuciones (usando diferentes funciones racionales). La mayoría de ellos no tienen nombres. Una excepción es la distribución binomial negativa cuyo pmf es hipergeométrico de grado (1,1).

— whuber

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Sí, esa es una función racional de grado (0,1), por lo que se ajusta a la definición general de una progresión hipergeométrica.

— whuber

Según una fuente $\sqrt{A B}$

— veryshuai
fuente

Su fuente recurre al tipo de especulación a la que me refería (algo elípticamente) al comienzo de mi respuesta. Internet está lleno de personas que hacen la misma afirmación, pero debido a que es igualmente fácil encontrar una media aritmética como una media geométrica, al final esta propiedad (de tener una construcción "geométrica") no parece explicar nada. Sería muy interesante encontrar una autoridad que pueda rastrear los usos históricos reales de "geométrico" y "aritmético" para ayudarnos a comprender cómo surgieron realmente estos términos.

— whuber