¿Qué se llama exactamente "componente principal" en PCA?

Supongamos que es el vector que maximiza la varianza de la proyección de los datos con matriz de diseño . $u$ $X$

Ahora, he visto materiales que se refieren a como el (primer) componente principal de los datos, que también es el vector propio con mayor valor propio. $u$

Sin embargo, también he visto que el componente principal de los datos es . $X u$

Obviamente, y son cosas diferentes. ¿Alguien puede ayudarme aquí y decirme cuál es la diferencia entre estas dos definiciones de componentes principales? $u$ $Xu$

pca terminology definition

— mi nombre es Jeff
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El vector propio u es la dirección del eje (los valores de u son los cosenos de dirección relativos a los ejes originales). Xu son los datos en sí, los valores del componente principal, las coordenadas en el eje antes mencionado).

— ttnphns

Tiene toda la razón al observar que aunque (uno de los vectores propios de la matriz de covarianza, por ejemplo, el primero) y (proyección de los datos en el subespacio unidimensional atravesado por ) son dos cosas diferentes, ambas de a menudo se les llama "componente principal", a veces incluso en el mismo texto. $\mathbf{u}$ $\mathbf{X}\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

$\mathbf{u}_i$

$\mathbf{u}$ $\mathbf{X}\mathbf{u}$

$\mathbf u$

$\mathbf u$ $\mathbf{Xu}$

Resumen de las dos convenciones:

\begin{array}{ccc} Convención 1 & Convención 2 \\ tu & {\begin{cases} eje principal \\ dirección principal \\ vector componente principal \end{cases} & componente principal \\ X tu & componente principal & puntajes de componentes principales \end{array}

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$

Nota: Solo los vectores propios de la matriz de covarianza correspondientes a valores propios distintos de cero se pueden llamar direcciones / componentes principales. Si la matriz de covarianza es de rango bajo, tendrá uno o más valores propios cero; los vectores propios correspondientes (y las proyecciones correspondientes que son constantes cero) no deben llamarse direcciones / componentes principales. Vea alguna discusión en mi respuesta aquí.

— ameba dice Reinstate Monica
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La Convención 2 debería ser ilegalizada. Tiene la capacidad de crear un sinfín de confusión para los principiantes, ya que combina vectores base y componentes de vectores de datos con respecto a la base.

— conjeturas de

¿Qué pasa con la definición de cargas? ¿Son las cargas los valores individuales del vector propio u?

— makis

@sera Vea stats.stackexchange.com/questions/143905 y stats.stackexchange.com/questions/125684

— amoeba dice Reinstate Monica

@amoeba gracias! una última pregunta. En SVD, para X = USVh (Vh: V transpuesta) si los vectores propios son las columnas de U, ¿puedo llamar a Vh como cargas?

— makis

@sera No. Ver stats.stackexchange.com/questions/134282

— dice Reinstate Monica