¿Existe siempre una función de enlace canónico para un modelo lineal generalizado (GLM)?

En GLM, suponiendo un escalar y para la distribución subyacente con pdf Se puede demostrar que . Si la función de enlace cumple lo siguiente, donde es el predictor lineal, entonces se llama la función de enlace canónico para esto modelo. $Y$ $\theta$

f_{Y} (y | θ, τ) = h (y, τ) \exp (\frac{θ y - A (θ)}{d (τ)})

$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$

μ = E (Y) = A^{'} (θ)

$\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (μ) = θ = X^{'} β

$g(\mu)=\theta = X'\beta$

X^{'} β

$X'\beta$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

Mi pregunta es, ¿existe siempre una función de enlace canónico para un GLM? En otras palabras, ¿puede siempre invertirse? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para que exista una función de enlace canónico? $A'(\theta)$

generalized-linear-model exponential-family

— Wei
fuente

Para estas distribuciones y $A'(\theta) = E(Y)$ $A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Dado que el parámetro de varianza y dispersión no es cero (e incluso positivo), $A'(\theta)$ es una función estrictamente creciente y debe ser invertible.

Sin embargo, no estoy seguro de si hay distribuciones de esta familia que tengan una variación infinita. No pude encontrar tales ejemplos.

— Vainius
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