Probabilidad de dibujar una bola negra en un conjunto de bolas blancas y negras con condiciones de reemplazo mixtas

Cuando se dibuja una bola negra, no se reemplaza en el conjunto, pero se reemplazan las bolas blancas.

He pensado en esto, con las anotaciones:

• $b$ , el número inicial de bolas en blanco y negro$w$
• $x_i = (b - i)/(b + w - i)$

La probabilidad de sacar una bola negra $Pb(n)$ después de n dibuja:

$$\eqalign{ Pb(0) &= x_0\\ Pb(1) &= (1-x_0)x_0 + x_0x_1\\ Pb(2) &= (1-x_0)^2x_0 + x_0x_1(1-x_0)+ x_0x_1(1-x_1) + x_0x_1x_2 \\ Pb(n) &= \sum\limits_{k=0}^{n-1} (\prod\limits_{i=0}^k x_i \prod\limits_{i<=k}^{n-k\ terms} 1-x_i) }$$

Esta suma parece infinita con n, incluso si algunos términos son nulos ya que$x_{i \ge b}=0$

Excepto :$b=1$
$Pb(n) = (1-x_0)^nx_0$

Para :$b=2$
$Pb(n)= x_0(1-x_1)^n + x_0x_1\sum\limits_{i+j=n-1} (1-x_0)^i(1-x_1)^j$

¿Existe una solución conocida para este problema?

Deje que el número inicial de bolas blancas sea y las bolas negras sean . La pregunta describe una cadena de Markov cuyos estados están indexados por los posibles números de bolas negras Las probabilidades de transición son$w$$b$$i \in \{0, 1, 2, \ldots, b\}.$

$$p_w(i, i) = \frac{w}{w+i}, \quad p_w(i,i-1) = \frac{i}{w+i}.$$

La primera describe dibujo una bola blanca, en cuyo caso no cambia, y la segunda describe extraer una bola negro, en cuyo caso se reduce en .$i$$i$$1$

De ahora en adelante, dejemos caer el subíndice explícito " ", tomando este valor como fijo en todo momento. Los valores propios de la matriz de transición son$w$$\mathbb{P}$

$$\mathbf{e} = \left(\frac{w}{w+b-i},\ i = 0, 1, \ldots, b\right)$$

correspondiente a la matriz dada por$\mathbb{Q}$

$$q_{ij} = (-1)^{i+j+b} (j+w) \binom{b}{j} w^{j-b} \binom{b-j}{i} (b-i+w)^{b-j-1}$$

cuyo inverso es

$$(q^{-1})_{ij} = \frac{w^{b-i} \binom{j}{b-i} (b-j+w)^{i-b}}{\binom{b}{b-i}}.$$

Es decir,

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e})\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

En consecuencia, la distribución después de transiciones fuera del estado viene dada por el vector de probabilidades$n$$b$

$$\mathbf{p}_n = (0,0,\ldots,0,1) \mathbb{P}^n = (0,0,\ldots,0,1)\mathbb{Q}\ \text{Diagonal}(\mathbf{e}^n)\ \mathbb{Q}^{-1}.$$

Es decir, la posibilidad de que queden bolas negras después de sorteos es$i$$n$

$$p_{ni} = \sum_{j=0}^b q_{nj} e_j^n (q^{-1})_{ji}.$$

Por ejemplo, comenzando con cualquier número de bolas blancas bolas negras, la distribución de probabilidad después de que dibuje es$b=2$$n \ge 1$

$$\eqalign{ \Pr(i=2) &= p_{n2} &= \frac{w^n}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=1) &= p_{n1} &= \frac{2w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} - \frac{2 w^{n-1}(1+w)}{(2+w)^n} \\ \Pr(i=0) &= p_{n0} &= 1 - \frac{2 w^{n-1}}{(1+w)^{n-1}} + \frac{w^{n-1}}{(2+w)^{n-1}}. }$$

Las curvas en esta figura rastrean las probabilidades de los estados (azul), (rojo) e (oro) en función del número de sorteos cuando ; es decir, la urna comienza con dos bolas negras y cinco bolas blancas.$i=0$$i=1$$i=2$$n$$w=5$

El estado (sin bolas negras) es un estado absorbente : en el límite a medida que crece sin límite, la probabilidad de este estado se acerca a la unidad (pero nunca la alcanza exactamente).$i=0$$n$