¿La geometría diferencial tiene algo que ver con las estadísticas?

Estoy haciendo un master en estadística y me recomiendan aprender geometría diferencial. Sería más feliz escuchar sobre aplicaciones estadísticas para geometría diferencial, ya que esto me motivaría. ¿Alguien conoce aplicaciones de geometría diferencial en estadística?

Dos libros canónicos sobre el tema, con reseñas, luego otras dos referencias:

• Geometría diferencial y estadística , MK Murray, JW Rice

  Desde la introducción por Rao en 1945 de la métrica de información de Fisher sobre una familia de distribuciones de probabilidad, ha habido interés entre los estadísticos en la aplicación de la geometría diferencial a las estadísticas. Este interés ha aumentado rápidamente en las últimas décadas con el trabajo de un gran número de investigadores. Hasta ahora, un impedimento para la difusión de estas ideas en la comunidad más amplia de estadísticos es la falta de un texto adecuado que presente el enfoque moderno de coordenadas libres a la geometría diferencial de una manera accesible para los estadísticos. Este libro tiene como objetivo llenar este vacío. Los autores aportan al libro una amplia experiencia de investigación en geometría diferencial y su aplicación a la estadística. El libro comienza con el estudio de los múltiples diferenciales más simples: los espacios afines y su relevancia para las familias exponenciales y pasa a la teoría general, la métrica de información de Fisher, la conexión Amari y las asíntotas. Culmina con la teoría de los paquetes de vectores, paquetes principales y chorros y su aplicación a la teoría de cadenas, un tema actualmente en la vanguardia de la investigación en estadística y geometría diferencial.

• Métodos de Geometría de la Información , S.-I. Amari, H. Nagaoka

  La geometría de la información proporciona a las ciencias matemáticas un nuevo marco de análisis. Ha surgido de la investigación de la estructura geométrica diferencial natural en múltiples distribuciones de probabilidad, que consiste en una métrica riemanniana definida por la información de Fisher y una familia de conexiones afines de un parámetro llamadas conexiones . La dualidad entre la conexión α y la ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-la conexión junto con la métrica juega un papel esencial en esta geometría. Este tipo de dualidad, que surgió de múltiples distribuciones de probabilidad, es omnipresente y aparece en una variedad de problemas que podrían no tener una relación explícita con la teoría de probabilidad. A través de la dualidad, es posible analizar varios problemas fundamentales en una perspectiva unificada. La primera mitad de este libro está dedicada a una introducción integral a la base matemática de la geometría de la información, incluidos los preliminares de la geometría diferencial, la geometría de múltiples o distribuciones de probabilidad, y la teoría general de las conexiones afines duales. La segunda mitad del texto proporciona una visión general de muchas áreas de aplicaciones, como estadísticas, sistemas lineales, teoría de la información, mecánica cuántica, análisis convexo, redes neuronales, y geometría diferencial afín. El libro puede servir como texto adecuado para un curso de temas para estudiantes avanzados y estudiantes de posgrado.

• Geometría diferencial en inferencia estadística , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen y CR Rao, IMS Lecture Notes Monogr. Ser. Volumen 10, 1987, 240 pp.

• El papel de la geometría diferencial en la teoría estadística , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox y N. Reid, Revisión estadística internacional / Revue Internationale de Statistique, vol. 54, núm. 1 (abril de 1986), págs. 83-96

La geometría de Riemann se usa en el estudio de campos aleatorios (una generalización de procesos estocásticos), donde el proceso no tiene que ser estacionario. La referencia que estoy estudiando se da a continuación con dos revisiones. Existen aplicaciones en oceanografía, astrofísica e imágenes cerebrales.

Campos aleatorios y geometría , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Comentarios:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$son variedades estratificadas riemannianas, y su enfoque es de naturaleza geométrica. El libro está dividido en tres partes. La parte I está dedicada a la presentación de las herramientas necesarias de los procesos y campos gaussianos. La Parte II expone concisamente los requisitos previos requeridos de geometría integral y diferencial. Finalmente, en la parte III, se establece con precisión el núcleo del libro, una fórmula para la expectativa de la función característica de Euler de un conjunto de excursión y su aproximación a la distribución de los máximos del campo. El libro está escrito en un estilo informal, lo que permite una lectura muy agradable. Cada capítulo comienza con una presentación de los asuntos a tratar, y las notas al pie de página, ubicadas a lo largo del texto, sirven como un complemento indispensable y muchas veces como referencias históricas.

"Este libro presenta la teoría moderna de las probabilidades de excursión y la geometría de los conjuntos de excursiones para ... campos aleatorios definidos en múltiples ... El libro es comprensible para los estudiantes ... con una buena formación en análisis ... La naturaleza interdisciplinaria de este libro , la belleza y la profundidad de la teoría matemática presentada hacen que sea una parte indispensable de cada biblioteca matemática y una estantería de todos los probabilistas interesados ​​en procesos gaussianos, campos aleatorios y sus aplicaciones estadísticas ". (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, vol. 1149, 2008)

Un área de estadística / matemática aplicada donde la geometría diferencial se usa de manera esencial (¡junto con muchas otras áreas de las matemáticas!) Es la teoría de patrones . Puede echar un vistazo al libro de Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 o el texto algo más accesible de David Mumford (un ganador del campo no): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_imco_=2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=15688HT4 = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Del prefacio del último texto:

El término "teoría de patrones" fue acuñado por Ulf Grenander para distinguir su enfoque al análisis de estructuras con patrones en el mundo del "reconocimiento de patrones". En este libro, lo usamos en un sentido bastante amplio para incluir los métodos estadísticos utilizados en el análisis todas las "señales" generadas por el mundo, ya sean imágenes, sonidos, textos escritos, cadenas de ADN o proteínas, trenes de espinas en neuronas o series temporales de precios o clima; ejemplos de todos estos aparecen en el libro de Grenander Elements of Pattern Theory [94] o en el trabajo de nuestros colegas, colaboradores y estudiantes sobre la teoría de patrones.

Un ejemplo donde se usa geometría diferencial es para modelos de cara.

Intentando responder la pregunta (en comentarios) de @whuber, mire el capítulo 16 del libro de Grenander, con el título "anatomía computacional". Sus múltiples se utilizan para representar diversas partes de la anatomía humana (como el hogar), y los difeomorismos se utilizan para representar los cambios de estos múltiples anatómicos, lo que permite la comparación, el modelado del crecimiento, el modelado de la acción de alguna enfermedad. ¡Estas ideas se remontan al monumental tratado de D'Arcy Thompson "sobre crecimiento y forma" de 1917!

Grenander continúa citando ese tratado:

En una gran parte de la morfología, nuestra tarea esencial radica en la comparación de formas relacionadas más que en la definición precisa de cada una; y la deformación de una figura complicada puede ser un fenómeno fácil de comprender, aunque la figura misma debe dejarse sin analizar e indefinida. Este proceso de comparación, de reconocer en una forma una permutación o deformación definitiva de otra, aparte de una comprensión precisa y adecuada del "tipo" o estándar de comparación original, se encuentra dentro de la provincia inmediata de las matemáticas y encuentra su solución en el uso elemental de cierto método del matemático. Este método es el Método de coordenadas, en el que se basa la Teoría de las transformaciones.

El ejemplo más conocido de estas ideas es cuando un niño ha desaparecido, por ejemplo, hace tres años, y uno publica una foto de su rostro, transformado (generalmente usando splines), en lo que podría ser hoy.