LogLikelihood Parameter Estimation for Linear Gaussian Kalman Filter

He escrito un código que puede hacer el filtrado de Kalman (utilizando varios filtros de tipo Kalman diferentes [Filtro de información et al.]) Para el Análisis de espacio de estado lineal gaussiano para un vector de estado n-dimensional. Los filtros funcionan muy bien y estoy obteniendo una buena salida. Sin embargo, la estimación de parámetros a través de la estimación de loglikelihood me confunde. No soy un estadístico sino un físico, así que por favor sea amable.

Consideremos el modelo lineal de espacio de estado gaussiano

donde $y_{t}$ es nuestro vector de observación, $\alpha_{t}$ nuestro vector de estado en el paso de tiempo $t$ . Las cantidades en negrita son las matrices de transformación del modelo de espacio de estado que se establecen de acuerdo con las características del sistema en consideración. También tenemos

donde . Ahora, he derivado e implementado la recursividad para el filtro de Kalman para este modelo de espacio de estado genérico al adivinar los parámetros iniciales y las matrices de varianza H 1 y Q 1. Puedo producir gráficos como$t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

donde los puntos son los niveles de agua del río Nilo en enero durante más de 100 años, la línea es el estado estimado de Kalamn, y las líneas discontinuas son los niveles de confianza del 90%.

Ahora, para este conjunto de datos 1D, las matrices y Q t son simplemente escalares σ ϵ y σ η respectivamente. Así que ahora quiero obtener los parámetros correctos para estos escalares usando la salida del filtro de Kalman y la función de verosimilitud$\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Donde es el error de estado y F t es la varianza del error de estado. Ahora, aquí es donde estoy confundido. Del filtro de Kalman, tengo toda la información que necesito para resolver L , pero esto parece no acercarme más a poder calcular la probabilidad máxima de σ ϵ y σ η . Mi pregunta es ¿cómo puedo calcular la probabilidad máxima de σ ϵ y σ η usando el enfoque de loglikelihood y la ecuación anterior? Un desglose algorítmico sería como una cerveza fría para mí en este momento ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Gracias por tu tiempo.

Nota. Para el caso 1D, y H t = σ 2 η . Este es el modelo univariante de nivel local.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Cuando ejecuta el filtro de Kalman como lo ha hecho, con valores dados de y σ 2 η , obtiene una secuencia de innovaciones ν t y sus covarianzas F t , por lo tanto, puede calcular el valor de log L ( Y n$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$ usando La fórmula que le das.

En otras palabras, puede considerar el filtro de Kalman como una forma de calcular una función implícita de y σ 2 η . Lo único que debe hacer es empaquetar este cálculo en una función o subrutina y manejar esa función en una rutina de optimización, como en R. Esa función debe aceptar como entradas σ 2 ϵ y σ 2 η y devolver el registro L ( S n ) .$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Algunos paquetes en R (p dlm. Ej. ) Lo hacen por usted (vea, por ejemplo, la función dlmMLE).