Ejemplos simples de e no correlacionados pero no independientes

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Cualquier estudiante trabajador es un contraejemplo de "todos los estudiantes son flojos".

¿Cuáles son algunos contraejemplos simples para "si las variables aleatorias e no están correlacionadas, entonces son independientes"? $X$ $Y$

correlation random-variable independence

— Clare Brown
fuente

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Creo que esto es un duplicado, pero soy demasiado vago para buscarlo. Tome e . , pero claramente las dos variables no son independientes.

X \sim N (0, 1)

$X\sim N(0,1)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

c o v (X, Y) = E X^{3} = 0

$cov(X,Y)=EX^3=0$

— mpiktas

1

un ejemplo sencillo (aunque hay quizás incluso más simples)

— Glen_b -Reinstate Mónica

1

Tome que se distribuye de manera uniforme en y , .

U

$U$

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$

X = \cos U

$X=\cos U$

Y = \sin U

$Y = \sin U$

— Dilip Sarwate

Debido a que el sentido de "más simple" no está definido, esta pregunta no es objetivamente responsable. Elegí el duplicado en stats.stackexchange.com/questions/41317 sobre la base de la suma más simple = más pequeña de cardinalidades de soportes de las distribuciones marginales.

— whuber

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@whuber: Aunque "lo más simple" no está muy bien definido, las respuestas aquí, por ejemplo, la respuesta de Glen_b, claramente proporcionan un ejemplo mucho más simple que el hilo que cerró como duplicado. Sugiero reabrir este (ya he votado) y quizás hacer CW para resaltar el hecho de que "más simple" está mal definido y OP quizás esté pidiendo varios ejemplos "simples".

— ameba dice Reinstate Monica

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Deje . $X\sim U(-1,1)$

Deje . $Y=X^2$

Las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Alternativamente, considere una distribución bivariada discreta que consiste en probabilidad en 3 puntos (-1,1), (0, -1), (1,1) con probabilidad 1/4, 1/2, 1/4 respectivamente. Entonces las variables no están correlacionadas pero son dependientes.

Considere datos bivariados uniformes en un diamante (un cuadrado rotado 45 grados). Las variables no estarán correlacionadas pero serán dependientes.

Esos son los casos más simples que se me ocurren.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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¿Todas las variables aleatorias simétricas y centradas alrededor de 0 no están correlacionadas?

— Martin Thoma

1

@moose Su descripción es ambigua. Si quiere decir "si es simétrico con respecto a cero e es simétrico con respecto a cero", entonces no, ya que una normal bivariada con márgenes normales estándar puede correlacionarse, por ejemplo. Si quiere decir "si es simétrico respecto de cero e es una función par de ", entonces, mientras existan las variaciones, creo que la respuesta es sí. Si quieres decir algo más, tendrás que explicarlo.

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Glen_b -Reinstale a Monica

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Creo que la esencia de algunos de los contraejemplos simples se puede ver comenzando con una variable aleatoria continua centrada en cero, es decir, . Suponga que el pdf de es par y está definido en un intervalo de la forma , donde . Ahora suponga que para alguna función . Ahora hacemos la pregunta: ¿para qué tipo de funciones podemos tener ? $X$ $E[X]=0$ $X$ $(-a,a)$ $a>0$ $Y=f(X)$ $f$ $f(X)$ $Cov(X,f(X))=0$

Sabemos que . Nuestra suposición de que nos lleva directamente a . Denotando el pdf de través de , tenemos $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$ $E[X]=0$ $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$ $X$ $p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$ .

Queremos y una forma de lograr esto es asegurando que es una función par, lo que implica que es una función impar. Luego se deduce que , y entonces . $Cov(X,f(X))=0$ $f(x)$ $xf(x)p(x)$ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ $Cov(X,f(X))=0$

De esta manera, podemos ver que la distribución precisa de no es importante como a lo largo como el pdf es simétrica alrededor de un cierto punto y cualquier función par va a hacer por la definición de . $X$ $f(\cdot)$ $Y$

Con suerte, esto puede ayudar a los estudiantes a ver cómo las personas inventan este tipo de contraejemplos.

— Harjoat Bhamra
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5

¡Sé el contraejemplo (es decir, estudiante trabajador)! Con eso dicho:

Estaba tratando de pensar en un ejemplo del mundo real y este fue el primero que me vino a la mente. Este no será el caso matemáticamente más simple (pero si comprende este ejemplo, debería poder encontrar un ejemplo más simple con urnas y bolas o algo así).

Según algunas investigaciones, el coeficiente intelectual promedio de hombres y mujeres es el mismo, pero la varianza del coeficiente intelectual masculino es mayor que la varianza del coeficiente intelectual femenino. Para concretar, digamos que el IQ masculino sigue a y el IQ femenino sigue a con . La mitad de la población es masculina y la otra mitad femenina. $N(100, \sigma^2)$ $N(100, \alpha \sigma^2)$ $\alpha<1$

Asumiendo que esta investigación es correcta:

¿Cuál es la correlación de género e coeficiente intelectual?

¿El género y el coeficiente intelectual son independientes?

— Har
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4

Podemos definir una variable aleatoria discreta con $X\in\{-1,0,1\}$ $\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

y luego defina $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Se puede verificar fácilmente que e no están correlacionados pero no son independientes. $X$ $Y$

— ObstinadoAtom
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2

Prueba esto (código R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Esto es de la ecuación del círculo $x^2+y^2-r^2=0$

no está correlacionado con , pero es funcionalmente dependiente (determinista). $Y$ $x$

— Analista
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1

La correlación de muestra cero no significa que la correlación verdadera sea cero.

— mpiktas

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@mpiktas Si esos cuatro valores representan una distribución bivariada cada uno con probabilidad 1/4, la corfunción que devuelve cero indicará una correlación de población de cero.

— Glen_b -Reinstale a Monica

@Glen_b Debería haber hecho mejores comentarios sobre el código. Esto podría no ser conocido por todos. Puede usar punto y coma, creo que no se recomienda como un estilo de codificación en R.

— Analista

1

@Glen_b sí, tienes razón. Pero esto no fue declarado. Buena observación por cierto.

— mpiktas

1

El único caso general cuando la falta de correlación implica independencia es cuando la distribución conjunta de X e Y es gaussiana.

— Frederik Meinertsen
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2

Esto no responde directamente a la pregunta al producir un ejemplo simple, en ese sentido, es más un comentario, pero proporciona una respuesta indirecta, ya que sugiere un conjunto muy amplio de ejemplos posibles. Podría valer la pena reformular esta publicación para aclarar cómo responde a la pregunta original.

— Silverfish

-1

Una respuesta de dos oraciones: el caso más claro de dependencia estadística no correlacionada es una función no lineal de un RV, digamos Y = X ^ n. Los dos RV son claramente dependientes pero aún no están correlacionados, porque la correlación es una relación lineal.

— John Strong
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X

$X$

X

$X$

Y = X^{n}

$Y=X^n$

Esta respuesta es incorrecta. En R: Expresión: {x <- runif (100); cor (x, x ^ 3)} Resultado: 0.9062057

— Josh