Combinando probabilidades de accidentes nucleares

Los recientes acontecimientos en Japón me han hecho pensar en lo siguiente.

Las plantas nucleares generalmente están diseñadas para limitar el riesgo de accidentes graves a una "probabilidad básica de diseño", por ejemplo, 10E-6 / año. Este es el criterio para una sola planta. Sin embargo, cuando hay una población de cientos de reactores, ¿cómo combinamos las probabilidades individuales de un accidente grave? Sé que probablemente podría investigar esto yo mismo, pero habiendo encontrado este sitio, estoy seguro de que hay alguien que podrá responder esta pregunta con bastante facilidad. Gracias

Para responder a la pregunta probabilística pura que J Presley presentó, usando la notación de bayer (p = probabilidad de que un elemento falle), la probabilidad de que al menos un elemento falle es 1-P (ninguno falla) = 1- (1-p) ^ norte. Este tipo de cálculo es común en la confiabilidad del sistema donde un grupo de componentes están vinculados en paralelo, de modo que el sistema continúa funcionando si al menos un componente está funcionando.

Todavía puede usar esta fórmula incluso si cada elemento de la planta tiene una probabilidad de falla diferente (p_i). La fórmula sería entonces 1- (1-p_1) (1-p_2) ... (1-p_n).

Antes de configurar su análisis, tenga en cuenta la realidad de lo que implica la situación actual.

Este colapso no fue causado directamente por el terremoto o el tsunami. Fue por falta de poder de respaldo. Si tuvieran suficiente poder de respaldo, independientemente del terremoto / tsunami, podrían haber mantenido el agua de refrigeración en funcionamiento, y ninguna de las crisis se habría producido. La planta probablemente ya estaría funcionando nuevamente.

Japón, por cualquier razón, tiene dos frecuencias eléctricas (50 Hz y 60 Hz). Y no puede hacer funcionar un motor de 50 Hz a 60 Hz o viceversa. Entonces, cualquiera que sea la frecuencia que la planta estaba usando / proporcionando, es la frecuencia que necesitan para encender. El equipo de "tipo estadounidense" funciona a 60 Hz y el equipo de "tipo europeo" funciona a 50 Hz, por lo tanto, al proporcionar una fuente de alimentación alternativa, tenga esto en cuenta.

Luego, esa planta se encuentra en un área montañosa bastante remota. Para suministrar energía externa se requiere una LÍNEA DE ALIMENTACIÓN LARGA desde otra área (que requiere días / semanas para construir) o grandes generadores impulsados ​​por gasolina / diesel. Esos generadores son lo suficientemente pesados ​​como para que volarlos en helicóptero no sea una opción. Llevarlos en camión también puede ser un problema debido a que las carreteras están bloqueadas por el terremoto / tsunami. Traerlos en barco es una opción, pero también lleva días / semanas.

La conclusión es que el análisis de riesgos para esta planta se reduce a la falta de VARIAS (no solo una o dos) capas de respaldo. Y, debido a que este reactor es un "diseño activo", lo que significa que requiere energía para mantenerse a salvo, esas capas no son un lujo, son necesarias.

Esta es una planta vieja. Una nueva planta no se diseñaría de esta manera.

Editar (19/03/2011) ========================================== ====

J Presley: Para responder a su pregunta se requiere una breve explicación de los términos.

Como dije en mi comentario, para mí, esto es una cuestión de "cuándo", no de "si", y como modelo burdo, sugerí el Proceso / Distribución de Poisson. El Proceso de Poisson es una serie de eventos que suceden a una tasa promedio en el tiempo (o espacio, o alguna otra medida). Estos eventos son independientes entre sí y aleatorios (sin patrones). Los eventos suceden uno a la vez (2 o más eventos no suceden exactamente al mismo tiempo). Básicamente es una situación binomial ("evento" o "sin evento") donde la probabilidad de que ocurra el evento es relativamente pequeña. Aquí hay algunos enlaces:

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

A continuación, los datos. Aquí hay una lista de accidentes nucleares desde 1952 con el nivel INES:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_and_radiation_accidents

Cuento 19 accidentes, 9 indican un nivel INES. Para aquellos sin un nivel INES, todo lo que puedo hacer es asumir que el nivel está por debajo del Nivel 1, así que les asignaré el Nivel 0.

Entonces, una forma de cuantificar esto es 19 accidentes en 59 años (59 = 2011-1952). Eso es 19/59 = 0.322 acc / año. En términos de un siglo, eso es 32.2 accidentes por cada 100 años. Suponiendo que un proceso de Poisson da los siguientes gráficos.

Originalmente, sugerí una distribución lognormal, gamma o exponencial para la gravedad de los accidentes. Sin embargo, dado que los niveles INES se dan como valores discretos, la distribución debería ser discreta. Sugeriría la distribución binomial geométrica o negativa. Aquí están sus descripciones:

http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

Ambos se ajustan a los datos más o menos igual, lo que no está muy bien (muchos niveles 0, un nivel 1, cero niveles 2, etc.).

 Fit for Negative Binomial Distribution

 Fitting of the distribution ' nbinom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
      estimate Std. Error
 size 0.460949  0.2583457
 mu   1.894553  0.7137625
 Loglikelihood:  -34.57827   AIC:  73.15655   BIC:  75.04543 
 Correlation matrix:
              size           mu
 size 1.0000000000 0.0001159958 
 mu   0.0001159958 1.0000000000

 #====================
 Fit for Geometric Distribution

 Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
       estimate Std. Error
 prob 0.3454545  0.0641182
 Loglikelihood:  -35.4523   AIC:  72.9046   BIC:  73.84904 

La distribución geométrica es una función simple de un parámetro, mientras que la distribución binomial negativa es una función más flexible de dos parámetros. Iría por la flexibilidad, más los supuestos subyacentes de cómo se derivó la Distribución Binomial Negativa. A continuación se muestra un gráfico de la distribución binomial negativa ajustada.

A continuación se muestra el código para todas estas cosas. Si alguien encuentra un problema con mis suposiciones o codificación, no tenga miedo de señalarlo. Revisé los resultados, pero no tuve el tiempo suficiente para realmente analizar esto.

 library(fitdistrplus)

 #Generate the data for the Poisson plots
 x <- dpois(0:60, 32.2)
 y <- ppois(0:60, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Cram the Poisson Graphs into one plot
 par(pty="m", plt=c(0.1, 1, 0, 1), omd=c(0.1,0.9,0.1,0.9))
 par(mfrow = c(2, 1))

 #Plot the Probability Graph
 plot(x, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 mtext(side=3, line=1, "Poisson Distribution Averaging 32.2 Nuclear Accidents Per Century", cex=1.1, font=2)
 xaxisdat <- seq(0, 60, 10)
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(x, type="h", lwd=3, col="blue")

 #Plot the Cumulative Probability Graph
 plot(y, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Cumulative Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(y, type="h", lwd=3, col="blue")

 axis(1, at=xaxisdat, padj=-2, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Number of Nuclear Accidents Per Century", 1, line=1)
 legend("topright", legend=c("99% Probability - 20 Accidents or More", " 1% Probability - 46 Accidents or More"), bg="white", cex=0.8)

 #Calculate the 1% and 99% values
 qpois(0.01, 32.2, lower.tail = FALSE)
 qpois(0.99, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Fit the Severity Data
 z <- c(rep(0,10), 1, rep(3,2), rep(4,3), rep(5,2), 7)
 zdis <- fitdist(z, "nbinom")
 plot(zdis, lwd=3, col="blue")
 summary(zdis)

Editar (20/03/2011) ========================================== ============

J Presley: Lo siento, no pude terminar esto ayer. Ya sabes cómo es los fines de semana, muchas tareas.

El último paso en este proceso es armar una simulación usando la Distribución de Poisson para determinar cuándo ocurre un evento, y luego la Distribución Binomial Negativa para determinar la gravedad del evento. Puede ejecutar 1000 conjuntos de "fragmentos de siglo" para generar las 8 distribuciones de probabilidad para eventos de Nivel 0 a Nivel 7. Si tengo tiempo, podría ejecutar la simulación, pero por ahora, la descripción tendrá que funcionar. Tal vez alguien que lea estas cosas lo ejecute. Una vez hecho esto, tendrá un "caso base" donde se supone que todos los eventos son INDEPENDIENTES.

Obviamente, el siguiente paso es relajar uno o más de los supuestos anteriores. Un lugar fácil para comenzar es con la distribución de Poisson. Se supone que todos los eventos son 100% independientes. Puede cambiar eso de muchas maneras. Aquí hay algunos enlaces a distribuciones de Poisson no homogéneas:

http://www.math.wm.edu/~leemis/icrsa03.pdf

http://filebox.vt.edu/users/pasupath/papers/nonhompoisson_streams.pdf

La misma idea se aplica a la distribución binomial negativa. Esta combinación te llevará por todo tipo de caminos. Aquí hay unos ejemplos:

http://surveillance.r-forge.r-project.org/

http://www.m-hikari.com/ijcms-2010/45-48-2010/buligaIJCMS45-48-2010.pdf

http://www.michaeltanphd.com/evtrm.pdf

La conclusión es que hizo una pregunta en la que la respuesta depende de qué tan lejos quiera llegar. Supongo que alguien, en algún lugar, se encargará de generar "una respuesta" y se sorprenderá de cuánto tiempo lleva hacer el trabajo.

Editar (21/03/2011) ========================================== ==========

Tuve la oportunidad de juntar la simulación mencionada anteriormente. Los resultados se muestran a continuación. De la distribución original de Poisson, la simulación proporciona ocho distribuciones de Poisson, una para cada nivel INES. A medida que aumenta el nivel de gravedad (aumenta el número de nivel INES), disminuye el número de eventos esperados por siglo. Este puede ser un modelo burdo, pero es un lugar razonable para comenzar.

La dificultad subyacente detrás de la pregunta es que las situaciones que se anticiparon, en general, se planificaron, con medidas de mitigación establecidas. Lo que significa que la situación ni siquiera debería convertirse en un accidente grave.

Los accidentes graves se derivan de situaciones imprevistas . Lo que significa que no puede evaluar las probabilidades para ellos: son sus incógnitas desconocidas de Rumsfeld.

El supuesto de independencia es claramente inválido: Fukushima Daiichi lo demuestra. Las plantas nucleares pueden tener fallas de modo común. (es decir, más de un reactor no está disponible a la vez, debido a una causa común).

Aunque las probabilidades no pueden calcularse cuantitativamente, podemos hacer algunas afirmaciones cualitativas sobre fallas de modo común.

Por ejemplo: si todas las plantas están construidas con el mismo diseño, entonces es más probable que tengan fallas de modo común (por ejemplo, el problema conocido con grietas del presurizador en EPR / PWR)

Si los sitios de la planta comparten puntos en común geográficos, es más probable que tengan fallas de modo común: por ejemplo, si todos se encuentran en la misma línea de falla de terremoto; o si todos dependen de ríos similares dentro de una sola zona climática para refrescarse (cuando un verano muy seco puede hacer que todas esas plantas se desconecten).

Como señalaron los comentaristas, esto tiene el supuesto de independencia muy fuerte.

$p$$1-p$$n$$(1-p)^n$$np$

En caso de estar interesado: distribución binomial .