Dado que la distribución beta es similar en forma al binomio, ¿por qué necesitamos la distribución beta?

Parece que la distribución binomial es muy similar en forma a la distribución beta y que puedo volver a parametrizar las constantes en cualquier pdf para que se vean iguales. Entonces, ¿por qué necesitamos la distribución beta? ¿Es para un propósito específico? ¡Gracias!

Están relacionados, pero en realidad no son tan similares en forma.

En la beta, la variable (y su complemento) se eleva a cierta potencia, pero en el binomio la variable es la potencia (y también aparece en un coeficiente binomial).

Si bien las formas funcionales se parecen un poco (hay términos en uno que corresponden a términos en el otro), las variables que representan los parámetros y la variable aleatoria en cada una son diferentes. Eso es bastante importante; Es por eso que en realidad no son lo mismo en absoluto.

La distribución binomial generalmente se usa para conteos , o en forma escalada, para proporciones basadas en conteo (aunque podría usarla para otras variables aleatorias discretas limitadas sobre una base puramente pragmática). Es discreto.

La distribución beta es continua, por lo que normalmente no se usa para los recuentos.

A modo de ejemplo, compare estas dos funciones:

y = x a$y = b^x,\, x=0,1,2,3,...$ e .$y = x^a,\, 0<x<1$

Ambas funciones están definidas por expresiones de la misma forma (algo de la forma ), pero los roles de variable y constante se intercambian y el dominio es diferente. La relación entre la beta y el binomio es como la relación entre esas dos funciones.$c^d$

- En resumen: forma diferente y dominio diferente

Aquí hay un ejemplo simple de una distribución beta, el . ¿Qué distribución binomial hace el mismo trabajo?$\text{beta}(1,1)$

O considere a ; Es difícil encontrar un binomio que se parezca. Aquí hay un intento:$\text{beta}(2,1)$

Todo el pdf beta se encuentra entre los dos primeros picos verdes en el binomio pf, aunque en realidad no se pueden mostrar en el mismo gráfico porque los ejes y miden cosas diferentes.

Si bien las formas son vagamente similares en el sentido de que ambas están sesgadas, en realidad son bastante diferentes y se usan para diferentes cosas.

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Aquí hay un desafío:

Para y una , encuentre distribuciones binomiales (presumiblemente escaladas) que puedan al mismo tiempo razonablemente precisas (digamos dentro de veces la probabilidad correcta, más o menos) que tienen la misma media y varianza o media y rango (usted elige), pero también reproducen aproximadamente la probabilidad de estar en estos tres subintervalos: (a) , (b) y (c)X 2 ∼ beta (3,2) c = ( 0.95 , 1.05 ) ( 1 / π , $X_1\sim\text{beta}(1,1)$$X_2\sim\text{beta(3,2)}$$c=(0.95, 1.05)$( exp ( - $(1/\pi,1/e)$(exp$(\exp(-\frac{1}{2}),2/\pi)$$(\exp(-3),1/\pi^2)$

La versión beta se usa para hacer muchas cosas, incluidas las proporciones continuas del modelo, actuar como previo en el parámetro de un binomio, es la distribución de estadísticas de orden uniforme (y se puede usar en la derivación de la distribución de estadísticas de orden para otros distribuciones continuas, utilizadas como una distribución de mezcla para el binomio (que produce la distribución beta-binomial), para modelar los tiempos de finalización de tareas en la gestión de proyectos , y muchas otras cosas.$p$$p$