Probabilidad de intersección del muestreo múltiple de la misma población.


10

Aquí hay un caso de ejemplo:

  • Tengo una población de 10,000 artículos. Cada artículo tiene una identificación única.
  • Escojo al azar 100 artículos y anoto los identificadores
  • Puse los 100 artículos nuevamente en la población
  • Elijo aleatoriamente 100 artículos nuevamente, anoto los identificadores y los reemplazo.
  • En total, repito este muestreo aleatorio 5 veces

¿Cuál es la probabilidad de que aparezca X número de elementos en los 5 muestreos aleatorios?

No estoy muy versado en estadísticas. ¿Sería esto correcto para X=10 ?

  • Para cada muestreo, el número de combinaciones posibles de 100 elementos de 10,000 es siyonorteometro(10000,100)
  • Fuera de todas las combinaciones posibles de 100 elementos, combinaciones contienen 10 elementos específicossiyonorteometro(9990,90)siyonorteometro(100,10)
  • La probabilidad de tener 10 elementos específicos es (siyonorteometro(9990,90)siyonorteometro(100,10))/ /siyonorteometro(10000,100)
  • La probabilidad calculada para la potencia de 5 representaría 5 muestreos independientes.

¿Entonces esencialmente estamos calculando 5 probabilidades hipergeométricas independientes y luego multiplicándolas juntas? Siento que me falta un paso en alguna parte.


3
Si repites algo una vez, significa que lo haces dos veces en total. ¿No repetir algo 5 veces implica que lo hagas 6 veces?
Glen_b -Reinstate a Monica el

Respuestas:


3

Calcule las posibilidades recursivamente.

Sea la probabilidad de que exactamente x valores, 0 x k , se seleccionen en todos los sorteos independientes s 1 de k ítems (sin reemplazo) de una población de n k > 0 miembros. (Mantengamos n y k fijos durante la duración del análisis para que no tengan que mencionarse explícitamente).pags(X)X0 0Xks1knortek>0 0nortek

Sea la probabilidad de que si se seleccionan exactamente los valores y en los primeros sorteos s - 1 , entonces x y de ellos se seleccionen en el último sorteo. Entonces porque hay ( ypags(Xy)ys-1Xy subconjuntos deelementosxde esoselementosy, y ( n-y(yX)Xy subconjuntos de loselementosk-xrestantesse seleccionan por separado de los otrosn-ymiembros de la población,(norte-yk-X)k-Xnorte-y

pags(Xy)=(yX)(norte-yk-X)(nortek).

La ley de probabilidad total afirma

pags(X)=y=Xkpags(Xy)pags-1(y).

Para , es una certeza que x = k : esta es la distribución inicial.s=1X=k

El cálculo total necesario para obtener la distribución completa a través de repeticiones es O ( k 2 s ) . No solo es razonablemente rápido, el algoritmo es fácil. Un escollo que aguarda al programador incauto es que estas probabilidades pueden volverse extremadamente pequeñas y los cálculos de punto flotante de flujo inferior. La siguiente implementación evita esto al calcular los valores de log ( p s ( x ) ) en las columnas 1 , 2 , ... , s de una matriz.sO(k2s)RIniciar sesión(pags(X))1,2,...,s

lp <- function(s, n, k) {
  P <- matrix(NA, nrow=k+1, ncol=s, dimnames=list(0:k, 1:s))
  P[, 1] <- c(rep(-Inf, k), 0)
  for (u in 2:s) 
    for (i in 0:k) {
      q <- P[i:k+1, u-1] + lchoose(i:k, i) + lchoose(n-(i:k), k-i) - lchoose(n, k)
      q.0 <- max(q, na.rm=TRUE)
      P[i+1, u] <- q.0 + log(sum(exp(q - q.0)))
    }
  return(P)
}
p <- function(...) zapsmall(exp(lp(...)))

La respuesta a la pregunta se obtiene dejando que n = 10 000 = 10 4 , y k = 100 = 10 2 . s=5 5, norte=10000=104 4k=100=102 La salida es una matriz de , pero la mayoría de los números son tan pequeños que podemos centrarnos en x muy pequeños . Aquí están las primeras cuatro filas correspondientes a x = 0 , 1 , 2 , 3 :101×5 5XX=0 0,1,2,3

p(5, 1e4, 1e2)[1:4, ]

La salida es

  1         2         3      4        5
0 0 0.3641945 0.9900484 0.9999 0.999999
1 0 0.3715891 0.0099034 0.0001 0.000001
2 0 0.1857756 0.0000481 0.0000 0.000000
3 0 0.0606681 0.0000002 0.0000 0.000000

Los valores de etiquetan las filas mientras que los valores de s etiquetan las columnas. La columna 5 muestra la posibilidad de que un elemento aparezca en las cinco muestras es minúscula (aproximadamente uno en un millón) y esencialmente no hay posibilidad de que aparezcan dos o más elementos en las cinco muestras.Xs

Si desea ver cuán pequeñas son estas posibilidades, mire sus logaritmos. Base 10 es conveniente y no necesitamos muchos dígitos:

u <- lp(5, 1e4, 1e2)[, 5]
signif(-u[-1] / log(10), 3)

La salida nos dice cuántos ceros hay después del punto decimal:

    1     2     3     4     5     6     7     8     9    10  ...   97    98    99   100 
  6.0  12.3  18.8  25.5  32.3  39.2  46.2  53.2  60.4  67.6 ... 917.0 933.0 949.0 967.0 

Los números en la fila superior son valores de . Por ejemplo, la posibilidad de que aparezcan exactamente tres valores en las cinco muestras se encuentra mediante la computación , dando 0.000Xexp(u[4]) y de hecho esto tiene 18 ceros antes del primer dígito significativo. Como verificación, el último valor 967.0 es una versión redondeada de 967.26 . ( 100000,0000000000000000001434419...18 años967,0967,26(que cuenta las posibilidades de que la primera muestra vuelva a aparecer en las siguientes cuatro muestras) es igual a10-967.26.(10000100)-4 410-967,26.


0

Me encontré con un problema similar y, aunque tampoco sé si esta es la solución correcta, lo abordé así:

Usted está interesado en la aparición de ítems en 5 muestras á 100 ítems de 10 , 000 ítems en total. Se podría pensar en una urna con X bolas blancas y 10 , 000 - X bolas negras. Se sacan 100 bolas y p h es la probabilidad de que tengas todas las X bolas blancas en tu set. Si haces esto 5 veces (independientemente), lo multiplicaría: p = p h 5 .X10010,000X10,000-X100paghX5 5pag=pagh5 5

pagh5 55 5pag=(5 55 5)pagh5 5(1-pagh)5 5-5 5=pagh5 5


0

¿Cuál es la probabilidad de que aparezca XX

XXXXXPAG=(XX)(10000-X100-X)(10000100)PAG5 5

X(10000X)X(10000X)PAG5 5


X

No recuerdo, como era hace 3 años, pero ¿presumiblemente la misma X que en la pregunta?
Hao Ye

X=0 01
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