Por supuesto. Esta es esencialmente la observación de que la distribución de Dirichlet es un conjugado previo para la distribución multinomial. Esto significa que tienen la misma forma funcional. El artículo lo menciona, pero solo enfatizaré que esto se desprende del modelo de muestreo multinomial. Entonces, poniéndolo en práctica ...
XKnorte= ∑Ki = 1XyoXπD i r (α)K
παX
p(π|x,α)=p(x|π)p(π|α)
p(x|π)
p(x|π)=N!x1!⋯xk!πx11⋯πxkk
y
p(π|α)=1B(α)∏i=1Kπα−1i
B(α)=Γ(α)KΓ(Kα)
p(π|α,x)=p(x|π)p(π|α)∝∏i=1Kπxi+α−1i.
En otras palabras, el posterior también es Dirichlet. La pregunta era sobre la media posterior. Como el posterior es Dirichlet, podemos aplicar la fórmula para la media de un Dirichlet para encontrar que,
E[πi|α,x]=xi+αN+Kα.
¡Espero que esto ayude!