Geometría Algebraica para Estadística


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He escuchado acerca de los usos de la geometría algebraica en estadística y aprendizaje automático. Quería intentar aprender un poco sobre estos temas. No sé casi nada sobre geometría algebraica, pero tengo experiencia en matemáticas y sé sobre teoría básica de grupos, campos de anillos y algo de álgebra conmutativa. Mis preguntas son:

  1. ¿Cuáles son los conceptos de Geometría Algebríaca que debo aprender que están conectados a las aplicaciones en Estadísticas / ML (supongo que solo una parte de lo que generalmente se enseña en los cursos y libros de Geometría Algebraica es útil)?

  2. ¿Me puede recomendar algunos libros / documentos introductorios para alguien con mi experiencia? No me refiero a los libros de texto estándar para AG, sino a algo que se centra en los conceptos utilizados en las aplicaciones.


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Puede comenzar con M. Drton, B. Sturmfels y S. Sullivant, Lectures on Algebraic Statistics , Springer, 2009.
cardenal

Respuestas:


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Seguro que será influyente, este libro sienta las bases para el uso de la geometría algebraica en la teoría del aprendizaje estadístico. Muchos modelos estadísticos ampliamente utilizados y máquinas de aprendizaje aplicadas a la ciencia de la información tienen un espacio de parámetros que es singular: los modelos mixtos, las redes neuronales, los HMM, las redes bayesianas y las gramáticas estocásticas sin contexto son ejemplos importantes. La geometría algebraica y la teoría de la singularidad proporcionan las herramientas necesarias para estudiar tales modelos no lisos. Se establecen cuatro fórmulas principales:

  1. la función de probabilidad logarítmica puede recibir una forma estándar común usando resolución de singularidades, incluso aplicada a modelos más complejos;

  2. el comportamiento asintótico de la probabilidad marginal o 'la evidencia' se deriva de la teoría de la función zeta;

  3. se derivan nuevos métodos para estimar los errores de generalización en las estimaciones de Bayes y Gibbs a partir de errores de entrenamiento;

  4. Los errores de generalización de máxima verosimilitud y los métodos a posteriori se aclaran mediante la teoría del proceso empírico sobre variedades algebraicas.


Gracias por la referencia: ¡este libro parece la mejor recomendación hasta ahora! Tendré que conseguirlo pronto. También para cualquier persona interesada aquí hay una pregunta en este sitio web sobre este libro: stats.stackexchange.com/questions/22391/…
Chill2Macht
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