Para una variable aleatoria continua, ¿por qué

Mi libro de texto pone esto en una caja lateral con el título "Nota" y no explica por qué. ¿Podría decirme por qué se cumple esta afirmación?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data

— Persona
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Casi se podrían tomar estas afirmaciones como definiciones de "continuo". ¿Cuál es, entonces, su definición de una variable aleatoria continua?

— whuber

Para una variable aleatoria continua, ¿qué es y ?

P (Z = a)

$P(Z=a)$

P (Z = b)

$P(Z=b)$

— Glen_b -Reinstate Monica

El artículo de Wikipedia sobre distribuciones de probabilidad hace un trabajo bastante bueno al explicar esto. En última instancia , invoca el hecho de que el CDF es continuo, por lo que la probabilidad de cualquier punto debe ser cero.

— whuber

Respuestas:

No hay nada formal que agregar a esto, pero una analogía que realmente me ayudó a entender esto vino de un texto de cálculo. Imagine que tiene una tubería de hierro de cierta longitud y peso. Y deseas cortarlo en dos pedazos. Si la tubería mide 1 m de largo, es posible que desee cortarla por la mitad en la marca de 0.5. Ahora piense en el peso de la tubería como algunas veces constantes de la longitud de la tubería (asumimos que todas las secciones transversales de igual longitud tienen el mismo peso).

Cortar la tubería por la mitad en la marca de 0,5 m: ¿cuánto peso pierde? Recuerde que la única sección transversal que está eliminando es la marca de 0,5 m. Entonces, ¿cuál es la longitud de esta sección transversal? Tenga en cuenta que 0.49999999 ... no está separado de él, y tampoco lo es 0.5000000000 ... 1, o cualquier otro punto cercano, pero no igual a 0.5, por lo que la longitud de esta sección transversal es técnicamente cero. Lo que significa que realmente no estás eliminando ningún peso.

Esto explicaría por qué y son básicamente lo mismo para las variables continuas, incluyendo o excluyendo el punto final realmente no cambia nada, para cualquier punto que elija cerca del punto final, todavía hay una cantidad infinita de puntos entre ellos. $\leq$ $<$

¿Tiene esto algún sentido?

— ltronneberg
fuente

Primero daré la definición de una variable aleatoria (absolutamente) continua $Z$ .

(Se necesita probabilidad avanzada, ¡muchos pueden saltearla!)

Dejar $(\Omega,F, P)$ ser un espacio de probabilidad y dejar $Z:\Omega\rightarrow R^n$ ser un vector aleatorio La probabilidad $P_X$ en $B(R^n)$ definido por $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ , $A \in B(R^n)$ se llama la distribución de $Z$ . Ahora si $P_Z\ll \mu,$ dónde $\mu$ es medida de Lebesgue en $R^n$ , (es decir $P$ es absolutamente continuo con respecto a $\mu$ ) entonces decimos que $Z$ es un vector aleatorio (absolutamente) continuo. Ahora, usando el teorema de Radon-Nikodym , existe una función $f: R^n\to[0,+\infty]$ tal que $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ para todos $A \in B(R^n)$ . Nosotros llamamos $f$ la función de densidad de $Z$ .

Ahora defina la función de distribución acumulativa (CDF) de una variable aleatoria absolutamente continua $Z$ como:

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

Antes de dar una prueba formal, tengamos un ejemplo de una variable aleatoria continua que esté distribuida uniformemente, es decir, con una función de densidad de probabilidad de $f(z)=1$ para $0\leq z \leq 1$ y 0 de lo contrario. Ahora intentemos encontrar $P(z=0.5)$ . Tenemos

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$ Podemos reducir ese intervalo para obtener una mejor aproximación de la siguiente manera:

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$ Como puede ver, estas probabilidades están convergiendo a cero a medida que reducimos la duración del intervalo. Ahora probémoslo formalmente. Voy a mostrar eso para cualquier variable aleatoria continua

Z

$Z$ , tenemos:

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$ utilizando el CDF.

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$ desde la función CDF,

F

$F$ , es una función "continua" para la variable aleatoria continua

Z

$Z$ . similar

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$ .
Finalmente tenga en cuenta que

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$ Entonces

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$ Puede usar el mismo argumento para otras igualdades.

— Stat
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Parece que este argumento se aplicaría igualmente bien a cualquier distribución discreta con un conjunto infinitamente posible de valores posibles, pero entonces las conclusiones son obviamente erróneas, entonces algo es el problema.

— whuber

Sería genial si nos puede mostrar cómo "las conclusiones son obviamente erróneas" ...

— Estadísticas

En una distribución discreta, incluso una (como un Poisson o un binomio negativo) con soporte infinitamente contable, cada valor tiene una probabilidad distinta de cero, mientras que su argumento implica que todos tienen probabilidad cero.

— whuber

Cambié mi respuesta.

— Estadísticas

No estoy de acuerdo con tu afirmación de que

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$ ser una función continua derecha nos da que

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$ El resultado deseado requiere continuidad izquierda de

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$ , que por supuesto se cumple desde

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$ es a la vez continuo continuo e izquierdo continuo para variables aleatorias continuas

Z

$Z$ . Además, está utilizando el hecho de que la probabilidad es una función de conjunto continuo cuando calcula

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$ y afirmar que es lo mismo que

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$ .

— Dilip Sarwate

-1

Quizás una explicación más intuitiva es que para una variable continua la contribución de los bordes (por ejemplo, $a$ o $b$ ) a la probabilidad acumulativa en los intervalos circundantes (o semiintervalos) es insignificantemente pequeña.

— Itamar
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