¿La regresión de Cox tiene una distribución de Poisson subyacente?


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Nuestro pequeño equipo estaba discutiendo y se atascó. ¿Alguien sabe si la regresión de Cox tiene una distribución de Poisson subyacente? Tuvimos un debate de que tal vez la regresión de Cox con tiempo constante en riesgo tendrá similitudes con la regresión de Poisson con una varianza robusta. ¿Algunas ideas?

Respuestas:


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Sí, hay un vínculo entre estos dos modelos de regresión. Aquí hay una ilustración:

Suponga que el peligro de la línea de base es constante en el tiempo: . En ese caso, la función de supervivencia esh0(t)=λ

S(t)=exp(0tλdu)=exp(λt)

y la función de densidad es

f(t)=h(t)S(t)=λexp(λt)

Este es el pdf de una variable aleatoria exponencial con expectativa .λ1

Dicha configuración produce el siguiente modelo paramétrico de Cox (con notaciones obvias):

hi(t)=λexp(xiβ)

En la configuración paramétrica, los parámetros se estiman utilizando el método clásico de probabilidad. El log-verosimilitud viene dado por

l=i{dilog(hi(ti))tihi(ti)}

donde es el indicador de evento.di

Hasta una constante aditiva, esto no es más que la misma expresión que la probabilidad logarítmica de los 'vistos como realizaciones de una variable de Poisson con media . μ i = t i h i ( t )diμi=tihi(t)

Como consecuencia, se pueden obtener estimaciones utilizando el siguiente modelo de Poisson:

log(μi)=log(ti)+β0+xiβ

donde .β0=log(λ)


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De manera más general, suponiendo tasas de riesgo constantes durante intervalos de tiempo fijos (conocidos como modelo exponencial por partes), puede ajustar modelos de supervivencia bastante flexibles en forma de GLM de poisson; si agrega interacciones entre el riesgo de línea de referencia constante por partes y las covariables, puede calcular efectos que varían con el tiempo y se alejan del supuesto de proporcionalidad, por ejemplo. Fuentes: Michael Friedman "Modelos exponenciales por partes para datos de supervivencia con covariables", Annals of Statistics N LAIRD, D OLIVIER "Análisis de covarianza de datos de supervivencia censurados utilizando técnicas de análisis
logarítmico

y @fabians, gracias. ¡Parece algo más interesante de ver y generar más discusión de nuestro grupo!
Julie
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