Sé que el álgebra lineal y el análisis (especialmente la teoría de la medida) son importantes. ¿Es útil tomar cursos de posgrado en análisis real y complejo? ¿Debo tomar cursos de álgebra abstracta más allá de los cursos introductorios, por ejemplo, álgebra conmutativa y geometría algebraica?
Respuestas:
En mi opinión, algunas opciones para investigar a nivel de posgrado podrían ser: análisis funcional (un marco natural para formulaciones estadísticas), procesos estocásticos, control estocástico (el análisis secuencial es la detención óptima), varios tipos de PDE (muchos problemas probabilísticos se formulan como PDE parabólicas y no lineales). Casi todo esto requiere un análisis real a nivel de pregrado. Si está interesado en cosas teóricas, entonces tomar la teoría de la medida también es bastante importante como requisito previo para el tratamiento completo de estos temas. El análisis complejo tendrá algún uso, pero menos que el anterior; hay conexiones con la probabilidad (es decir, funciones armónicas), pero bien podría no valer la pena
El álgebra conmutativa y la geometría algebraica no serán muy útiles (una conexión que se me ocurre es la estadística algebraica, que no se enseña ampliamente). Estos temas también serán muy desafiantes sin una sólida formación en matemáticas.
Si desea comprender la teoría de la medida, no tiene más remedio que realizar un análisis real y un análisis avanzado (es decir, topología de conjunto de puntos). El álgebra abstracta es definitivamente más amigable con el grado que el análisis, sin embargo, creo que es mucho menos útil.
Obtenga un análisis real, pero no de la forma en que veo que la gente lo hace. Cuando entrevistamos a estudiantes universitarios de matemáticas, parece que no dominan las herramientas de análisis real, cosas simples como tomar integrales están fuera del alcance de la mayoría de ellos. Aún no entiendo por qué. Entonces, mi consejo: preste atención a las aplicaciones en primer lugar.
También obtenga cursos de ODE y PDE, y análisis funcional y geometría diferencial. Álgebra lineal y tensores, por supuesto, también. Todo con foco en aplicaciones.
Con respecto al álgebra conmutativa y la geometría algebraica, los temas que menos se abordan en las otras respuestas, mi impresión es que, siempre que evite las estadísticas algebraicas, puede sobrevivir sin ellas. Sin embargo, evitar las estadísticas algebraicas puede ser cada vez más difícil en el futuro, ya que tiene muchas aplicaciones e intersecciones con el aprendizaje automático / estadístico, que es muy importante en la investigación actual, así como en aplicaciones en otras áreas. El álgebra conmutativa y la geometría algebraica son los temas que desea aprender más específicamente para las estadísticas algebraicas, vea por ejemplo las respuestas a esta pregunta: Geometría algebraica para estadísticas
En contraste, todos los subcampos de estadísticas usan análisis. (Sin embargo, no es un análisis tan complejo, aunque puede ser útil para comprender las funciones características, un punto que parece no haberse planteado todavía). Creo que la teoría de la medida de nivel de pregrado probablemente sería suficiente, ya que he conocido estadísticos profesionales (por ejemplo, profesores en los departamentos superiores) que desprecian la teoría de la medida, pero si realmente quieres entender la teoría de la medida, un curso de posgrado en análisis real es de gran ayuda. La teoría de la medida de pregrado tiende a centrarse exclusivamente en la medida de Lebesgue en la línea real, que tiene muchas propiedades agradables que las medidas generales pueden no tener necesariamente, y además es una medida infinita. En contraste, un curso de análisis real a nivel de posgrado tenderá a tener más énfasis en medidas abstractas, que hacen que las medidas de probabilidad en general sean más fáciles de entender, y también aclaran la relación entre medidas de probabilidad continuas y discretas; en otras palabras, podrá ver que ambos temas se unen en un marco en su mente por primera vez. Del mismo modo, uno podría probar el teorema de extensión de Kolmogorov en dicho curso. Y una comprensión de las medidas abstractas es realmente indispensable para una comprensión rigurosa de los procesos estocásticos en tiempo continuo. Incluso es útil para comprender los procesos estocásticos en un tiempo discreto, aunque menos importante que en el caso continuo. Podrás ver que ambos temas se unen en un marco en tu mente por primera vez. Del mismo modo, uno podría probar el teorema de extensión de Kolmogorov en dicho curso. Y una comprensión de las medidas abstractas es realmente indispensable para una comprensión rigurosa de los procesos estocásticos en tiempo continuo. Incluso es útil para comprender los procesos estocásticos en un tiempo discreto, aunque menos importante que en el caso continuo. Podrás ver que ambos temas se unen en un marco en tu mente por primera vez. Del mismo modo, uno podría probar el teorema de extensión de Kolmogorov en dicho curso. Y una comprensión de las medidas abstractas es realmente indispensable para una comprensión rigurosa de los procesos estocásticos en tiempo continuo. Incluso es útil para comprender los procesos estocásticos en un tiempo discreto, aunque menos importante que en el caso continuo.