Estimador imparcial para la menor de dos variables aleatorias

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Suponga que $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ e $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

$z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

El estimador simple de donde y son medias de muestra de e , por ejemplo, está sesgado (aunque es consistente). Tiende a subestimar . $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

No puedo pensar en un estimador imparcial para . ¿Existe uno? $z$

Gracias por cualquier ayuda.

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
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Esto es solo un par de comentarios, no una respuesta (no tengo suficiente punto de representación).

(1) Hay una fórmula explícita para el sesgo del estimador simple aquí: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, marzo-abril. El mayor de un conjunto finito de variables aleatorias. Investigación de operaciones 9 (2): 145–162.

Aunque no estoy seguro de cómo esto ayuda

(2) Esto es solo intuición, pero creo que ese estimador no existe. Si existe tal estimador, también debe ser imparcial cuando . Por lo tanto, cualquier 'degradación' que haga que el estimador sea menor que el promedio ponderado de las dos medias de muestra hace que el estimador sea parcial para este caso. $\mu_x=\mu_y=\mu$

— O Zuk
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posiblemente, cualquier corrección podría terminar teniendo una media de cero para este caso.

— cardenal

Sin embargo, solo para aclarar, no estoy afirmando que creo que haya un estimador imparcial. De hecho, estoy de acuerdo en que probablemente no lo haya .

— cardenal

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Sí, de acuerdo, esto es solo intuición. El siguiente artículo da las condiciones para la existencia de un estimador imparcial para una función de una media gaussiana univariada, tal vez puede extenderse a multivariante: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— O Zuk

Conocer el sesgo puede ayudar, puede corregirlo para obtener un estimador imparcial. De hecho, seguí esta ruta, pero calcular el sesgo exacto requiere que tengas

y

, lo cual nosotros no. Así que, naturalmente, traté de usar la media de la muestra para ver qué sucede. No parece ayudar. En simulaciones, el estimador corregido también exhibe sesgo. Me estoy inclinando hacia un estimador imparcial que no existe, pero no he encontrado una buena prueba de ello.

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

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Tienes razón en que no existe un estimador imparcial. El problema es que el parámetro de interés no es una función uniforme de la distribución de datos subyacente debido a la no diferenciabilidad en . $\mu_x=\mu_y$

La prueba es como sigue. Sea un estimador imparcial. Entonces . El lado izquierdo es diferenciable en todas partes con respecto a y (diferenciar bajo el signo integral). Sin embargo, el lado derecho no es diferenciable en $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , lo que lleva a una contradicción.

Hirano y Porter tienen una prueba general en un próximo documento de Econometrica (ver su Propuesta 1). Aquí está la versión del documento de trabajo:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— usuario8817
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¡Muy agradable! Gracias por seguir esta pregunta.

— whuber

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Hay un estimador para el mínimo (o el máximo) de un conjunto de números dada una muestra. Ver Laurens de Haan, "Estimación del mínimo de una función usando estadísticas de orden", JASM, 76 (374), junio de 1981, 467-469.

— Jan Galkowski
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Lamentablemente, no creo que el documento que cita aborde este problema. El artículo trata cuando tiene un conjunto de variables no estocásticas A, y encuentra el elemento más pequeño en A a través del muestreo. En el contexto de este problema, cada elemento en A sería una variable aleatoria, y ahí está el pateador.

— Debe

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Estaría bastante seguro de que no existe un estimador imparcial. Pero los estimadores imparciales no existen para la mayoría de las cantidades, y la imparcialidad no es una propiedad particularmente deseable en primer lugar. ¿Por qué quieres uno aquí?

Y

$Y$

Y

$Y$