Un método estándar es generar tres normales estándar y construir un vector unitario a partir de ellas. Es decir, cuando y , entonces es uniforme distribuido en la esfera. Este método también funciona bien para esferas dimensionales.λ 2 = X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 ( X 1 / λ , X 2 / λ , X 3 / λ ) dXi∼N(0,1)λ2=X21+X22+X23(X1/λ,X2/λ,X3/λ)d
En 3D puede usar el muestreo de rechazo: dibuje desde una distribución uniforme hasta que la longitud de sea menor o igual a 1, luego, al igual que con el método anterior, normalizar el vector a la unidad de longitud. El número esperado de ensayos por punto esférico es igual a = 1.91. En dimensiones más altas, el número esperado de ensayos aumenta tanto que rápidamente se vuelve impracticable. [ - 1 , 1 ] ( X 1 , X 2 , X 3 ) 2 3 / ( 4 π / 3 )Xi[−1,1](X1,X2,X3)23/(4π/3)
Hay muchas formas de verificar la uniformidad . Una forma ordenada, aunque algo computacionalmente intensiva, es con la función K de Ripley . El número esperado de puntos dentro de la distancia (3D Euclidiana) de cualquier ubicación en la esfera es proporcional al área de la esfera dentro de la distancia , que es igual a . Al calcular todas las distancias entre puntos, puede comparar los datos con este ideal.ρ π ρ 2ρρπρ2
Los principios generales de la construcción de gráficos estadísticos sugieren que una buena manera de hacer la comparación es trazar los residuos estabilizados por varianza contra donde es el más pequeño de las distancias mutuas y . La trama debe estar cerca de cero. (Este enfoque no es convencional).i = 1 , 2 , … , n ( n - 1 ) / 2 = m d [ i ] i th e i = 2 √ei(d[i]−ei)i=1,2,…,n(n−1)/2=md[i]ithei=2i/m−−−√
Aquí hay una imagen de 100 dibujos independientes de una distribución esférica uniforme obtenida con el primer método:
Aquí está la gráfica de diagnóstico de las distancias:
La escala y sugiere que estos valores están todos cerca de cero.
Aquí está la acumulación de 100 de estos gráficos para sugerir qué desviaciones de tamaño podrían ser indicadores significativos de falta de uniformidad:
(Estas parcelas se parecen mucho a los puentes brownianos ... puede haber algunos descubrimientos teóricos interesantes que acechan aquí).
Finalmente, aquí está el diagrama de diagnóstico para un conjunto de 100 puntos aleatorios uniformes más otros 41 puntos distribuidos uniformemente solo en el hemisferio superior:
En relación con la distribución uniforme, muestra una disminución significativa en las distancias entre puntos promedio a un rango de un hemisferio. Eso en sí mismo no tiene sentido, pero la información útil aquí es que algo no es uniforme en la escala de un hemisferio. En efecto, este gráfico detecta fácilmente que un hemisferio tiene una densidad diferente que el otro. (Una prueba de chi-cuadrado más simple haría esto con más potencia si supiera de antemano qué hemisferio probar de los infinitos posibles).