Distribución Weibull v / s Distribución gamma

¿Cuál es la diferencia entre la intuición detrás de las distribuciones de Gamma y Weibull? ¿Hay alguna relación entre las dos densidades?

Amablemente ayuda.

gamma-distribution weibull

— Vani
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Las distribuciones gamma y Weibull pueden verse como generalizaciones de la distribución exponencial. Si consideramos que la distribución exponencial describe el tiempo de espera de un proceso de Poisson (el tiempo que tenemos que esperar hasta que ocurra un evento, si ese evento es igualmente probable que ocurra en cualquier intervalo de tiempo), entonces el La distribución describe el tiempo que tenemos que esperar para que ocurran eventos independientes. $\Gamma(k, \theta)$ $k$

Por otro lado, la distribución de Weibull describe efectivamente el tiempo que tenemos que esperar para que ocurra un evento, si ese evento se vuelve más o menos probable con el tiempo. Aquí el parámetro describe qué tan rápido aumenta la probabilidad (proporcional a ). $k$ $t^{k-1}$

Podemos ver la diferencia en efecto mirando los archivos PDF de las dos distribuciones. Ignorando todas las constantes de normalización:

F_{Γ} (X) \propto X^{k - 1} Exp (- \frac{X}{θ}) F_{W} (X) \propto X^{k - 1} Exp (- {(\frac{X}{λ})}^{k})

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

Como puede ver en esto, el pdf para la distribución de Weibull se cae mucho más rápido (para ) o lentamente (para ) que la distribución gamma. En el caso donde , ambos se reducen a la distribución exponencial. $k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— Martin O'Leary
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¡Esto es muy útil! Naturalmente, ambas distribuciones se usan a menudo para variables distintas del tiempo de espera, de modo que la derivación y la motivación pueden ser muy diferentes. En una nota diferente, Weibull y Poisson merecen sus mayúsculas iniciales porque llevan el nombre de las personas, pero muchas (me arriesgaría) discusiones sobre exponenciales y gamma no usan mayúsculas iniciales.

— Nick Cox

Se corrigió el uso de mayúsculas: estaba cansado cuando escribí la respuesta, y el OP había capitalizado Gamma, así que corrí con él. Por supuesto, tiene razón en que no todo uso de estas distribuciones es un tiempo de espera, pero creo que esto proporciona la mejor intuición. Si hay otra buena forma de pensarlo, me encantaría escucharlo.

— Martin O'Leary

¡No tengo una mejor historia general! Las mayúsculas (p. Ej., Gamma / gamma) son naturalmente una cuestión de convención cuando los apellidos no están involucrados.

— Nick Cox