Problema al calcular la distribución conjunta y marginal de dos distribuciones uniformes

Supongamos que tenemos una variable aleatoria distribuida como y distribuida como , donde significa distribución uniforme en el intervalo . $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

Pude calcular el pdf conjunto de y el pdf marginal de . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Sin embargo, al calcular el pdf marginal de me encuentro con un problema de límites. La resultante de integral a marginal de es y los límites son de 0 a 1. Como no está definido para , me enfrento a una dificultad. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

¿Estoy equivocado en alguna parte? Gracias.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
fuente

¿Por casualidad quiere decir que X2 se distribuye como U [0, X1]?

— SheldonCooper

SheldonCopper: Eso es correcto. Lo cambiaré

Los límites para el marginal de no son de 0 a 1, excepto cuando .

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

Gracias whuber. Estás en lo correcto. Entonces, tenemos que sustituir los límites de la densidad marginal de X2 como X1 = X2 a X1 = 1.

Respuestas:

En la integral de "marginación", el límite inferior para no es sino (debido a la condición ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Entonces la integral debe ser:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Te has topado, lo que creo que es una de las partes más difíciles de las integrales estadísticas: determinar los límites de la integración.

NOTA: Esto es consistente con la respuesta de Henry, el mío es el PDF y el suyo es el CDF. Diferenciar su respuesta te da la mía, lo que demuestra que ambos tenemos razón.

— probabilidadislogica
fuente

Sí, lo descubrí antes de que respondieras :) ... Gracias.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ que es lo que encontré

— Henry

No debe tener en la distribución marginal para $X_1$ $X_2$

Espero que obtenga y, por lo tanto, la derivada da una densidad marginal de . $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

Esto viene de si , y si así que integral es $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Enrique
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Henry: log (X1) es después de integrar (pero antes de sustituir límites) para marginal de X2. Tu P (X2) está mal. Creo que está integrando el registro (X1) que dije que obtenemos después de la integración misma.

@ Harpreet: probando con R, tengo claro que es correcto para . También he ampliado las integrales para mostrar cómo se obtiene esto. Entonces, ¿qué crees que está mal?

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

— Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Gracias Henry Pero creo que lo que está haciendo es correcto, sin embargo, marginal de X2 será sin límites.

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ so , lo que significa que no puede ser una función de densidad o distribución. Y sigo pensando que no debería aparecer en la distribución marginal de . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution dice lo mismo en "La distribución de las variables marginales (la distribución marginal) se obtiene al marginar sobre la distribución de las variables que se descartan, y se dice que las variables descartadas han sido marginadas ".

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Henry