Hemos implementado algunos tipos de pruebas de hipótesis estadísticas, una de las cuales es la prueba del modelo adecuado de chi cuadrado : una prueba de chi cuadrado de los números de muestras en contenedores determinados a partir del CDF inverso de la distribución de probabilidad dada. Entonces, por ejemplo, para probar la generación de muestras de distribución de Cauchy, ejecuto algo como
with(Statistics):
infolevel[Statistics] := 1:
distribution := CauchyDistribution(2, 3):
sample := Sample(distribution, 10^6):
ChiSquareSuitableModelTest(sample, distribution, 'bins' = 100, 'level' = 0.001);
Debido a que puedo generar una muestra tan grande como quiera, puedo hacer que bastante pequeño.α
Para distribuciones con momentos finitos, calculo por un lado una cantidad de momentos de muestra y, por otro lado, calculo simbólicamente los momentos de distribución correspondientes y su error estándar. Entonces, por ejemplo, la distribución beta:
with(Statistics):
distribution := BetaDistribution(2, 3):
distributionMoments := Moment~(distribution, [seq(1 .. 10)]);
standardErrors := StandardError[10^6]~(Moment, distribution, [seq(1..10)]);
evalf(distributionMoments /~ standardErrors);
Esto muestra una lista decreciente de números, el último de los cuales es 255.1085766. Entonces, incluso para el décimo momento, el valor del momento es más de 250 veces el valor del error estándar del momento muestral para una muestra de tamaño . Esto significa que puedo implementar una prueba que se ejecuta más o menos de la siguiente manera:106
with(Statistics):
sample := Sample(BetaDistribution(2, 3), 10^6):
sampleMoments := map2(Moment, sample, [seq(1 .. 10)]);
distributionMoments := [2/5, 1/5, 4/35, 1/14, 1/21, 1/30, 4/165, 1/55, 2/143, 1/91];
standardErrors :=
[1/5000, 1/70000*154^(1/2), 1/210000*894^(1/2), 1/770000*7755^(1/2),
1/54600*26^(1/2), 1/210000*266^(1/2), 7/5610000*2771^(1/2),
1/1567500*7809^(1/2), 3/5005000*6685^(1/2), 1/9209200*157366^(1/2)];
deviations := abs~(sampleMoments - distributionMoments) /~ standardErrors;
Los números entran distributionMoments
y standardErrors
provienen de la primera ejecución anterior. Ahora, si la generación de la muestra es correcta, los números en las desviaciones deberían ser relativamente pequeños. Supongo que están aproximadamente distribuidos normalmente (que en realidad no lo son, pero se acerca lo suficiente; recuerde que estas son versiones escaladas de momentos de muestra, no las muestras en sí) y, por lo tanto, puedo marcar un caso en el que hay una desviación mayor que 4: correspondiente a un momento de muestra que se desvía más de cuatro veces el error estándar del momento de distribución. Es muy poco probable que esto ocurra al azar si la generación de la muestra es buena. Por otro lado, si los primeros 10 momentos de muestra coinciden con los momentos de distribución en menos de medio por ciento, tenemos una aproximación bastante buena de la distribución.