Condición necesaria y suficiente en MGF conjunta para la independencia

Supongamos que tengo un momento conjunto que genera la función para una distribución conjunta con CDF . Es tanto necesario como suficiente $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ condición para la independencia de e ? Revisé un par de libros de texto, que solo mencionaban la necesidad: $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Ese resultado es claro, ya que la independencia implica . Dado que los MGF de los marginales están determinados por el MGF conjunto, tenemos: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Pero después de buscar en línea, encontré solo una referencia fugaz, sin pruebas, a la inversa . ¿Es viable la siguiente prueba de boceto?

Dada una MGF conjunta , esto determina de forma única las distribuciones marginales de e y sus MGF, y $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ . Los marginales solos son compatibles con muchas otras posibles distribuciones conjuntas, y determinan de manera única una distribución conjunta en la que e son independientes, con CDF y MGF: $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Lepisma
fuente

Sí, esa es la condición necesaria y suficiente para la independencia no solo para dos variables aleatorias sino también para una secuencia (finita) de variables aleatorias. Consulte, por ejemplo, P.2 en la página 242 de Probabilidad con aplicaciones estadísticas , por Rinaldo B. Schinazi. O la página 259 del Análisis econométrico de datos de conteo que se basa en la función de generación de probabilidad. Solo tenga en cuenta que "la función generadora de momentos no siempre existe".

— Stat
fuente

Gracias por referencias sólidas. ¡Sí, tuve cuidado de decir que el MGF original se administró al principio y traté de recordar demostrar que cualquier otro MGF al que me refería existía como consecuencia antes de hacer algo con él! ¿Qué estrategias de prueba se emplearon en sus árbitros?

— Silverfish

¿Leyó el párrafo justo después de P2 en mi primera referencia?

— Estadísticas del

Ah sí, es la extensión de mi prueba sugerida a los vectores. Compare el MGF de la distribución dada con el MGF si los componentes fueran independientes; Como son iguales y los MGF determinan de manera única la distribución conjunta, la distribución conjunta es la independiente.

— Silverfish