Probabilidad de que una variable aleatoria continua asuma un punto fijo

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Estoy en una clase de estadística introductoria en la que la función de densidad de probabilidad para variables aleatorias continuas se ha definido como . Entiendo que la integral de pero no puedo rectificar esto con mi intuición de una variable aleatoria continua. Digamos que X es la variable aleatoria igual al número de minutos desde el tiempo t que llega el tren. ¿Cómo calculo la probabilidad de que el tren llegue exactamente 5 minutos a partir de ahora? ¿Cómo puede esta probabilidad ser cero? ¿No es posible? ¿Qué pasa si el tren no llega exactamente 5 minutos a partir de ahora, como no podía ocurrir si tuviera probabilidad 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Gracias.

— Geofflittle
fuente

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Hacer algunas de estas preguntas sobre su cabeza es útil. Por ejemplo , si su intuición dice que cada momento posible debe tener una probabilidad estrictamente positiva, entonces, debido a que hay un conjunto incontable de tiempos posibles en cualquier intervalo, su intuición implica que la probabilidad total es infinita. Obviamente esa intuición está mal. Una cosa que hay que abandonar es la idea de que una probabilidad de cero implica una imposibilidad: eso no es cierto. Del mismo modo, una probabilidad de uno no implica una certeza.

— whuber

@whuber Eso es lo que no puedo rectificar. Si la probabilidad de que ocurra un evento es 0, entonces nunca debería suceder. Por ejemplo, si tengo un dado estándar de seis lados, la probabilidad de sacar cualquier número es 0 y, por lo tanto, será nunca suceda Además, ¿cómo puede un evento con probabilidad 1 no ser una certeza en el experimento posterior? Podría dar un ejemplo?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle

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Suponga que ve un círculo en el que se muestra un acorde y parece ser un diámetro, lo que le lleva a preguntarse "¿cuál es la probabilidad de que un acorde seleccionado al azar no hubiera sido un diámetro?" Cuando el acorde se obtiene al elegir un par de puntos de manera uniforme e independiente a lo largo de la circunferencia, la respuesta es , pero este evento no ocurrió. Eso proporciona (¡bastante fuerte!) Evidencia de que el acorde no fue el resultado del proceso aleatorio que usted postuló. Una lección brindada por tales experimentos mentales es que las intuiciones basadas en espacios de probabilidad finita no siempre se generalizan.

1

$1$

— whuber

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Puede estar cayendo en la trampa de considerar 'cinco minutos a partir de ahora' como un período de tiempo finito (que tendría una probabilidad distinta de cero).

"Cinco minutos a partir de ahora" en el sentido variable continuo es verdaderamente instantáneo.

Imagine que la llegada del próximo tren se distribuye uniformemente entre las 8:00 y las 8:15. Además, imaginemos que definimos la llegada de un tren como que ocurre en el instante en que el frente del tren pasa un punto particular en la estación (quizás el punto medio de la plataforma si no hay un punto de referencia mejor). Considere la siguiente secuencia de probabilidades:

a) la probabilidad de que llegue un tren entre las 8:05 y las 8:10

b) la probabilidad de que llegue un tren entre las 8:05 y las 8:06

c) la probabilidad de que llegue un tren entre las 8:05:00 y las 8:05:01

d) la probabilidad de que un tren llegue entre las 8:05:00 y las 8: 05: 00.01 (es decir, en el espacio de una centésima de segundo

e) la probabilidad de que un tren llegue entre las 8:05 y una milmillonésima de segundo después

f) la probabilidad de que un tren llegue entre las 8:05 y una cuadrillonésima de segundo después

... y así

La probabilidad de que llegue precisamente a las 8:05 es el valor límite de una secuencia de probabilidades como esa. La probabilidad es menor que cada . $\epsilon>0$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Entiendo esto, pero, suponiendo que llegue el tren, llega en algún momento. ¿Por qué este límite todavía no puede converger a alguna probabilidad?

— geofflittle

Si lo comprende, como dice, puede calcular la probabilidad de la manera indicada. Permítame hacerlo más fácil: imagine por conveniencia de cálculo que la hora exacta en que "llega" un tren (sin embargo, la definimos, siempre que sea realmente continua) en un tiempo distribuido uniformemente en el intervalo (0,1) (en cualquier es una unidad de tiempo conveniente). ¿Cuál es la probabilidad de que el tren llegue antes del tiempo , para alguna dentro del intervalo? ¿Cuál es la probabilidad de que llegue después del tiempo ? ¿Cuál es la probabilidad de que llegue entre y ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b -Reinstalar Monica

(CTD) ... Para decirlo 'llega a tiempo ' para una variable continua, significa "¿Cuál es el límite de esa última probabilidad como . Por lo tanto, ¿cuál es ese límite? elaborarlo! Eso es la probabilidad de que converja. Esta característica está íntimamente relacionada con lo que hace que un pdf continuo sea continuo.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica el

Además, tenga en cuenta que si ese último límite es cualquier cosa menos cero, sus tres probabilidades (antes de , después de y "en" ) no se sumarán a 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Reinstale a Monica el

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¿Qué pasa si el tren llega exactamente 5 minutos a partir de ahora, cómo podría ocurrir si tuviera probabilidad 0?

Una declaración probabilística no es una declaración sobre la posibilidad / factibilidad de un evento. Solo refleja nuestro intento de cuantificar nuestra incertidumbre acerca de que esto ocurra. Entonces, cuando un fenómeno es continuo (o se modela como uno), nuestras herramientas y nuestro estado actual de conocimiento no nos permiten hacer una declaración probabilística de que tome un valor específico . Solo podemos hacer una declaración relacionada con un rangode valores. Por supuesto, el truco habitual aquí es discretizar el soporte, considerar intervalos de valores "pequeños" en lugar de valores individuales. Dado que las variables aleatorias continuas brindan grandes beneficios y flexibilidad en comparación con las variables aleatorias discretas, se ha encontrado que este es un precio bastante pequeño a pagar, tal vez tan pequeño como los intervalos que estamos obligados a considerar.

— Alecos Papadopoulos
fuente

Estas declaraciones son desconcertantes, tal vez porque podrían interpretarse de muchas maneras diferentes. En algunos lugares, parece negar la validez del uso de distribuciones continuas para modelar fenómenos, y hacer una clara distinción entre el fenómeno y el modelo, y en otros lugares parece abandonar por completo esa distinción. Mi lectura, que sospecho que no fue intencional, es que usted sostiene que el hecho matemático de que para cualquier RV continuo es en realidad siempre falso, pero eso hace que parezca que está negando La aplicabilidad de la teoría de la probabilidad!

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

— whuber

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Hola @whuber Con respecto a la distinción entre modelo y fenómeno, un mapa de la tierra no es tierra, pero puede ayudarlo a recorrer la tierra. Así es como pienso en los modelos, cuando no los trato como objetos de puro placer intelectual (que también lo son). En cuanto a la cuestión de "probabilidad cero", es una imperfección, después de todo, ¿no sería genial tener todos los beneficios de la continuidad y poder hacer una declaración de probabilidad sobre un valor único? Pero ser imperfecto no hace que algo sea inaplicable, por supuesto, y mientras escribo, esta imperfección ha demostrado ser de poca importancia.

— Alecos Papadopoulos

Supones implícitamente que la probabilidad es algo objetivo "allá afuera" en tu analogía de mapeo, pero no lo es. La probabilidad tiene un significado solo dentro de un modelo. No veo "imperfecciones" en los axiomas de probabilidad y, de hecho, uno puede hacer afirmaciones precisas y consistentes sobre las probabilidades de valores únicos: a menudo son cero.

— whuber

2

@whuber No, no supongo eso, y no entiendo dónde viste eso en lo que escribí. Dije "el mapa no es la tierra", lo que significa "lo que hay en el modelo no existe en la realidad", entonces, ¿cómo se puede inferir de eso exactamente lo contrario? La "imperfección" no se refiere a los axiomas de probabilidad, sino a qué herramientas nos conducen estos axiomas, y qué tan efectivamente se pueden utilizar estas herramientas para modelar, estudiar y comprender el mundo real. Y es obvio que creo que la probabilidad es una herramienta efectiva.

— Alecos Papadopoulos

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Para darle una idea de lo anterior, intente el siguiente experimento (pensamiento):

Dibuja una línea real alrededor de cero con una regla. Ahora tome un dardo afilado y déjelo caer desde arriba aleatoriamente en la línea (supongamos que siempre golpeará la línea y solo el posicionamiento lateral es importante por el argumento).

Sin embargo, muchas veces dejas que el dardo caiga al azar en la línea, nunca llegarás al punto cero. ¿Por qué? Piensa cuál es el punto cero, piensa cuál es su ancho. Y después de reconocer que su ancho es 0, ¿todavía crees que puedes golpearlo?

¿Serás capaz de alcanzar el punto 1 o -2? ¿O cualquier otro punto que elija en la línea para el caso?

Para volver a las matemáticas, esta es la diferencia entre el mundo físico y un concepto matemático como los números reales (representados por la línea real en mi ejemplo). La teoría de la probabilidad tiene una definición de probabilidad bastante más complicada que la que verá en su conferencia. Para cuantificar la probabilidad de eventos y cualquier combinación de sus resultados, necesita una medida de probabilidad. Tanto la medida de Borel y medida de Lebesgue se definen para un intervalo [a, b] en la línea real como: partir de esta definición se puede ver lo que sucede con la probabilidad si se reduce el intervalo a un número (estableciendo a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

La conclusión es que, según nuestra definición actual de teoría de la probabilidad (que se remonta a Kolmogorov), el hecho de que un evento tenga probabilidad 0 no significa que no pueda ocurrir.

Y en lo que respecta a su ejemplo con el tren, si tendrá un reloj infinitamente preciso, su tren nunca llegará exactamente a tiempo.

— significado
fuente

Dices "nunca alcanzarás el punto cero", pero ¿qué puedes decir sobre el punto que golpeé en mi primer lanzamiento de dardos? Deje ser el punto que golpeé. Antes de lanzar mi dardo, habrías dicho "nunca golpearás el punto ", pero acabo de golpearlo. ¿Ahora que?

x

$x$

x

$x$

— geofflittle

Creo que hay que diferenciar entre la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a algún punto? Si estamos de acuerdo en que siempre lanzas un dardo y siempre golpea en algún lugar a lo largo de la línea, esa probabilidad es 1. Además, no solo digo que no golpearás 0. Estoy diciendo que la probabilidad de que golpees CUALQUIER punto que elijas Antes de tirar el dardo es 0. de hecho se puede elegir cualquier conjunto finito de puntos y la probabilidad seguirá siendo 0.

— -medios-a decir,

Con respecto a su pregunta, entiendo su punto, pero preguntar sobre las probabilidades de los eventos después de que ocurran no es sensato. Una declaración como P (X = x) se refiere a la realización futura de una variable aleatoria X. Entonces, después de llegar a algún punto, no voy a decir nada al respecto. (se usan mayúsculas grandes solo para señalar el flujo de tiempo, no para gritar ...)

— significado del

1

Una distribución de probabilidad tiene que tener un área de unidad. Si la medida es continua, entonces hay un número infinito de valores que puede tomar (es decir, un número infinito de valores a lo largo del eje x de la distribución). La única forma en que el área total de la distribución de probabilidad puede ser finita es que el valor en cada número infinito de valores sea cero. Uno dividido por el infinito.

En la "vida real" no puede haber medidas que tomen un número infinito de valores (por varios argumentos filosóficos diferentes que no importan mucho aquí), por lo que ningún valor necesita tomar una probabilidad de exactamente cero. Un argumento práctico útil se basa en la precisión finita de las mediciones del mundo real. Si utiliza un cronómetro que mide una décima de segundo, el tren tendrá una décima de segundo para llegar en 'exactamente' cinco minutos.

— Michael Lew
fuente

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El primer párrafo aquí proporciona una intuición vaga, aunque los pasos deductivos son incorrectos. Hay muchas distribuciones que admiten un número infinito de valores, pero cada valor tiene una probabilidad estrictamente positiva. El segundo párrafo podría beneficiarse de una nueva redacción que enfatice que a cada valor de medición se asocia un intervalo (pequeño) de valores posibles de la cantidad subyacente de interés.

— cardenal

¿Cuál es la diferencia entre un valor estrictamente positivo (de un valor finito dividido entre infinito) y cero en este contexto?

— Michael Lew el

2

Mi punto, probablemente mal formulado, es que el argumento en el primer párrafo se basa en la premisa falsa de que debido a que la variable aleatoria puede tomar infinitos valores, cada resultado individual debe tener una probabilidad cero. Esto es, por supuesto, incorrecto (Poisson, geométrico, etc.); El concepto de "infinito" no es lo suficientemente fuerte aquí, exigimos la rendición de cuentas .

— cardenal

0

Otras personas han respondido por qué la probabilidad es cero (si usted estima que el tiempo es continuo, lo que efectivamente no es , pero de todos modos ...), así que lo repetiré brevemente. Para responder a la última pregunta que hizo el OP --- "¿cómo podría ocurrir si tuviera probabilidad 0?" --- pueden ocurrir muchas cosas si tienen probabilidad cero. Todo un conjunto de probabilidad cero significa que, en el espacio de posibles cosas que podrían suceder, el conjunto ocupa espacio. Eso es todo. No es más significativo que esto. $A$ $A$

Estoy escribiendo esto para, con suerte, abordar algo más que el OP dijo en los comentarios:

Dices "nunca alcanzarás el punto cero", pero ¿qué puedes decir sobre el punto que golpeé en mi primer lanzamiento de dardos? Deje 𝑥 ser el punto que golpeé. Antes de lanzar mi dardo, habrías dicho "nunca darás en el punto 𝑥", pero acabo de golpearlo. ¿Ahora que?

Esta es una muy buena pregunta y con la que, cuando comencé a aprender sobre la probabilidad, tuve problemas. Aquí está la respuesta: ¡no es equivalente a la pregunta que hizo originalmente! Lo que ha hecho es dedicar tiempo al análisis, y eso significa que la estructura de probabilidad subyacente cambia para volverse mucho más intrincada. Aquí está lo que necesitas saber. Un espacio de probabilidad consta de tres cosas: un espacio subyacente , como o ; un conjunto de todos los resultados posibles en este espacio, como el conjunto de todos los intervalos medio abiertos en , y una medida que satisface $(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ . Su problema original vive en el espacio donde es la medida de Lebesgue (esto significa que ). En este espacio, la probabilidad de que golpees cualquier punto único es cero por las razones discutidas anteriormente --- Creo que tenemos esto aclarado. Pero ahora, cuando dice cosas como el pasaje citado anteriormente, está definiendo algo llamado filtración , que escribiremos como . Una filtración en general es una colección de subconjuntos de que satisfacen para todas las $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$ . En su caso, podemos definir la filtración Ahora, en este nuevo subconjunto de su espacio de resultados, adivine qué --- ¡tiene razón! Lo has golpeado y, después de tu primer lanzamiento, tu probabilidad de haber alcanzado ese punto cuando estás restringido a la filtración es 1.

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Debido a que está utilizando lenguaje técnico, sería mejor emplear significados estándar para los términos. En particular, lo que llama un "resultado" generalmente se denomina evento (básico) : los resultados son los elementos de Su fórmula para la medida de Lebesgue (normalizada) es incorrecta: sospecho que pretendía En un nivel más fundamental, no está claro por qué necesita invocar la maquinaria de los procesos estocásticos para analizar una variable aleatoria que modele el tiempo de un solo evento, ni es evidente que esto proporcione alguna idea.

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$

— whuber