Expectativa del cociente de sumas de variables aleatorias IID (hoja de trabajo de la Universidad de Cambridge)

Me estoy preparando para una entrevista que requiere un conocimiento decente de probabilidad básica (al menos para superar la entrevista en sí). Estoy trabajando en la hoja a continuación de mis días de estudiante como revisión. En su mayoría ha sido bastante sencillo, pero estoy completamente perplejo con la pregunta 12.

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

Cualquier ayuda sería apreciada.

Editar: la pregunta es:

Suponga que son variables aleatorias positivas distribuidas idénticamente independientes con y . Deje . Muestre que cuando , y cuando . $X_1, X_2, ...$ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ $m>=n$

De hecho, en el proceso de escribir esto, he resuelto la segunda parte.

Para , $m>=n$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

y el numerador y el denominador de la relación anterior son claramente independientes, entonces:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

y obtenemos el resultado deseado.

Sin embargo, todavía estoy atrapado en la primera parte.

probability self-study random-variable

— Spy_Lord
fuente

Es importante que las publicaciones sean independientes. Edite esto para incluir una versión legible de la pregunta. También le pedimos que indique qué enfoques ha intentado y qué progreso, si alguno, ha realizado: de lo contrario, no tenemos ninguna base para evaluar el nivel en el que escribir las respuestas.

— whuber

Actualizado según lo solicitado.

— Spy_Lord

¡Buen trabajo! Aquí hay una sugerencia para la primera parte: cuando agrega copias idénticas de juntas, parece que la suma tendrá una distribución cuya expectativa es fácil de calcular usando solo el supuesto iid.

n

$n$

S_{m} / S_{n}

$S_m/S_n$

— whuber

Agradezco su oferta para escribirlo; Creo que sería una adición útil a nuestro sitio.

— whuber

OK Creo que el paso que pensé que era correcto inicialmente, luego decidí que estaba equivocado, ¡en realidad está bien! Esencialmente, cuando llegas al punto donde tienes entonces esto, por la propiedad iid, es idéntico a ¿Puede confirmar que está bien? Si es así, lo escribiré a toda prisa.

E ((n X_{1}) / (X_{1} + . . . + X_{n}))

$\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$

E ((X_{1} + . . . + X_{n}) / (X_{1} + . . . + X_{n})) = 1

$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Respuestas:

¡Detectar para agregar copias idénticas de es muy inteligente! Pero algunos de nosotros no somos tan inteligentes, por lo que es bueno poder "posponer" la Gran Idea a una etapa en la que sea más obvio qué hacer. Sin saber por dónde comenzar, parece que hay varias pistas de que la simetría podría ser realmente importante (la suma es simétrica y tenemos algunas sumas, y las variables iid tienen la misma expectativa, por lo que tal vez se puedan intercambiar o renombrar de formas útiles). De hecho, la parte "difícil" de esta pregunta es cómo lidiar con la división, la operación que no es simétrica. ¿Cómo podemos explotar la simetría de la sumatoria? De la linealidad de la expectativa tenemos: $n$ $S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Pero luego, por razones de simetría, dado que son iid y , ¡todos los términos en el lado derecho son los mismos! ¿Por qué? Cambie las etiquetas de y para . Dos términos en la posición de cambio de denominador, pero después de reordenar, siguen sumando a , mientras que el numerador cambia de a . Entonces . Escribamos para y dado que existen tales términos tenemos . $X_i$ $m \le n$ $X_i$ $X_j$ $i, j \le n$ $S_n$ $X_i$ $X_j$ $\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$ $\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ $1 \le i \le n$ $m$ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

Parece que que produciría el resultado correcto. ¿Pero cómo probarlo? Sabemos $k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

Solo en esta etapa me di cuenta de que debería agregarlos para obtener

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

Lo bueno de este método es que conserva la unidad de las dos partes de la pregunta. La razón por la que se rompe la simetría, que requiere un ajuste cuando , es que los términos en el lado derecho después de aplicar la linealidad de la expectativa serán de dos tipos, dependiendo de si en el numerador se encuentra en la suma del denominador. (Como antes, puedo cambiar las etiquetas de y si ambas aparecen en el denominador, ya que esto solo reordena la suma , o si ninguna de las dos lo hace, deja claramente la suma sin cambios, pero si uno lo hace y uno no, entonces uno de los términos en el denominador cambia y ya no suma .) Para tenemos $m>n$ $X_i$ $X_i$ $X_j$ $S_n$ $S_n$ $i \le n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ y para tenemos , por ejemplo. Como tenemos de los primeros términos y de los últimos, $i>n$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$ $n$ $m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

Entonces encontrar es sencillo usando la independencia de y para : $r$ $S_n^{-1}$ $X_i$ $i>n$ $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

Entonces, el mismo "truco" funciona para ambas partes, solo implica tratar dos casos si . Sospecho que es por eso que las dos partes de la pregunta se dieron en este orden. $m>n$

— Lepisma
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Una muy buena exposición de sus pensamientos trabajando en la pregunta, y hace que el paso nk sea explícito (mi respuesta dice simplemente 'claramente igual'). ¡Salud!

— Spy_Lord

Gracias a whuber por la pista para la primera parte.

Considere para el caso $nS_m/S_n$ $m<=n$

Tenemos $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

y por la propiedad iid, esto es igual a:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

Por lo tanto, para $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ $m<=n$

— Spy_Lord
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