Distribuciones gamma vs. lognormales

Tengo una distribución observada experimentalmente que se parece mucho a una distribución gamma o lognormal. He leído que la distribución lognormal es la distribución de probabilidad de entropía máxima para una variable aleatoria para la cual se fijan la media y la varianza de . ¿La distribución gamma tiene propiedades similares? $X$ $\ln(X)$

pdf gamma-distribution lognormal

— OSE
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¿Por qué una propiedad de este tipo tendría algún valor para decidir cuál sería un modelo apropiado?

— Glen_b -Reinstalar Monica

@Glen_b Todavía soy un principiante cuando se trata de estadísticas, por lo que mi conocimiento es bastante básico. Mirando las gráficas de las distribuciones gamma y lognormal, cualitativamente se ven muy similares. Estoy buscando diferencias cuantitativas entre los dos. Por ejemplo, ¿cuáles son algunos ejemplos de aplicaciones físicas donde se producen distribuciones gamma o lognormales?

— OSE

En realidad, probablemente ninguno de los dos ocurre realmente; son modelos extraordinariamente simples que a veces son aproximaciones útiles (aunque aproximadas) de la realidad. Publicaré una respuesta que discute algunas diferencias cualitativas.

— Glen_b -Reinstate Monica

@glen_b: la razón es que si solo está midiendo esas estadísticas, la distribución mínima supuesta es únicamente la distribución familiar exponencial con esas estadísticas suficientes. Mientras que cualquier distribución puede ser un mal modelo de realidad, si uno no es libre de elegir qué medidas se toman, esta es una excelente manera de elegir un modelo.

— Neil G

@Glen_b Supongo que la distribución lognormal debería aparecer en algunas situaciones físicas debido al CLT.

— Stéphane Laurent

Respuestas:

En cuanto a las diferencias cualitativas, lognormal y gamma son, como usted dice, bastante similares.

De hecho, en la práctica a menudo se usan para modelar los mismos fenómenos (algunas personas usarán una gamma donde otras usan un lognormal). Ambos son, por ejemplo, modelos de coeficiente de variación constante (el CV para lognormal es $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ $1/\sqrt \alpha$

$\mu$ $\beta$ $\mu=\alpha\beta$ $\alpha$ $\mu$ $\mu$ $\alpha$ $\sigma$

Puede resultarle instructivo observar la densidad de sus registros , lo que a menudo muestra una diferencia muy clara.

El registro de una variable aleatoria lognormal es ... normal. Es simétrico

El registro de una variable aleatoria gamma está sesgado a la izquierda. Dependiendo del valor del parámetro de forma, puede ser bastante sesgado o casi simétrico.

Aquí hay un ejemplo, con ambos lognormal y gamma que tienen media 1 y varianza 1/4. La gráfica superior muestra las densidades (gamma en verde, lognormal en azul), y la inferior muestra las densidades de los registros:

gamma y lognormal, densidad y densidad de registro

(Trazar el registro de la densidad de los registros también es útil. Es decir, tomar una escala de registro en el eje y arriba)

$\text{CV}^3+3\text{CV}$ $2\text{CV}$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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+1. ¿Sabes si hay una fórmula cerrada para la asimetría del registro de gamma? Para lognormal, la asimetría del registro es claramente cero, y me pregunto si hay alguna expresión para el gamma. Wikipedia da fórmulas para la media y la varianza de log (gamma), pero no para la asimetría.

— ameba dice Reinstate Monica

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ como derivada de una función gamma, por lo que presumiblemente es factible ir más alto. Por lo tanto, la asimetría es factible, pero no especialmente "ordenada". Si quieres continuar, podría darte las integrales.

— Glen_b: reinstala a Mónica el

Sin embargo, no necesitamos evaluar la asimetría para discernir su signo. Examinar el registro de la densidad de los registros debería ser suficiente para establecer eso porque un lado domina claramente al otro.

— Glen_b -Reinstale a Monica el

Gracias Glen Decidí publicarlo como una nueva pregunta: stats.stackexchange.com/questions/312803 . Pasé algún tiempo buscando una respuesta lista, pero no pude encontrar ninguna, por lo que podría ser valioso para el futuro escribirla en algún lugar donde sea fácil de encontrar. Podría ser algo mejor para Math.SE, pero prefiero tenerlo aquí, para ser honesto.

— ameba dice Reinstate Monica

$E(X)$ $E(\log X)$

Para responder a su pregunta sobre los procesos físicos que generan estas distribuciones: La distribución lognormal surge cuando el logaritmo de X se distribuye normalmente, por ejemplo, si X es el producto de muchos factores pequeños. Si X está distribuido en gamma, es la suma de muchas variantes distribuidas exponencialmente. Por ejemplo, el tiempo de espera para muchos eventos de un proceso de Poisson.

— Neil G
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No es necesario que "muchas" variantes exponenciales sean gamma.

— Stéphane Laurent