Comprobando si una densidad es familia exponencial

Tratando de demostrar que esto no pertenece a una familia exponencial.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Aquí está mi enfoque:

Comparándolo con la forma estándar, $h(y) = 4y$ y $g(a)$ que tiene que ser una función de solo $a$, no se puede definir en términos de $a$ solo como $y$ en el $1+\frac{a}{y}$Es inseparable. ¿Es esto suficiente para mostrar que esta distribución no pertenece a una familia exponencial?

Por favor revise mi enfoque.

Has puesto el dedo en el quid de la cuestión y, de hecho, el resultado es bastante obvio, pero la lógica parece un poco extraña. El método descrito a continuación utiliza repetidamente logaritmos y diferenciación para simplificar progresivamente el problema, hasta que se vuelve completamente trivial.

Por definición, $f$ es el PDF para una familia exponencial cuando su logaritmo se puede escribir como una suma de algo en términos del parámetro ($a$) solo, algo más en términos de datos ($y$) solamente, y algo más que es producto de una función de $a$ y una función de $y$. Esto significa que puede ignorar cualquier factor que claramente dependa solo del parámetro o solo de los datos. En este caso es obvio$\frac{4}{1+4a}$ depende solo de $a$, entonces podemos ignorarlo.

El problema es con $y+a$. Necesitamos demostrar que no pueden existir funciones "agradables"$\eta$ y $T$ tal que $\log(y+a) = \eta(a) T(y)$ más alguna función de $a$ solo más alguna otra función de $y$solo. Esa parte "más" es molesta, pero podemos acabar con ella diferenciando primero con respecto a$a$ (la derivada de cualquier función de $y$ solo será cero) y luego con respecto a $y$ (la derivada de una función de $a$solo será cero). Al negar ambos lados (para que el lado izquierdo sea positivo) esto da

Quiero tomar logaritmos para simplificar el lado derecho (que, siendo igual al lado izquierdo, siempre es positivo). Asumiendo$\eta'$ y $T'$ ambos son continuos garantizarán que haya algunos intervalos de valores para $a$ y para $y$ en el cual $-\eta'(a)\gt 0$ y $T'(y)\gt 0$ si no $\eta'(a)\gt 0$ y $-T'(y)\gt 0$. Esto significa que de hecho podemos dividir el lado derecho en dos factores positivos, permitiendo que se aplique el logaritmo. Hacerlo produce

(o de lo contrario, una expresión comparable con algunos signos menos). Ahora jugamos el mismo juego: en cualquier caso, diferenciando ambos lados con respecto a ambos$a$ y $y$ rendimientos

Una imposibilidad.

Mirando hacia atrás, este enfoque tuvo que asumir ambos $\eta$ y $T$tener segundas derivadas dentro de algunos intervalos de sus argumentos. El análisis se puede hacer en la misma línea usando diferencias finitas para debilitar esos supuestos, pero probablemente no valga la pena.

Estará en una familia exponencial si se puede escribir en $fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$(Con otras condiciones).

Dejar $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$. Ahora para 4 puntos de datos$x_1,x_2,x_3,x_4$ en el espacio muestral $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$= $\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$ , que está libre de η.

Ahora aqui $f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$ = $4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$. Tomar$g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$.

Entonces $\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$=$\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$ - que no está libre de a. entonces$f(y;a)$ no pertenece a la familia exponencial.