Explicando los filtros de Kalman en modelos de espacio de estado

¿Cuáles son los pasos involucrados en el uso de filtros de Kalman en modelos de espacio de estado?

He visto un par de formulaciones diferentes , pero no estoy seguro de los detalles. Por ejemplo, Cowpertwait comienza con este conjunto de ecuaciones:

y_{t} = F_{t}^{^{'}} θ_{t} + v_{t}

$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$

θ_{t} = G_{t} θ_{t - 1} + w_{t}

$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$

donde y , son nuestras estimaciones desconocidas e son los valores observados. $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$ $w_{t} \sim N(0, W_{t})$ $\theta_{t}$ $y_{t}$

Cowpertwait define las distribuciones involucradas (distribución previa, de probabilidad y posterior, respectivamente):

θ_{t} | D_{t - 1} \sim N (a_{t}, R_{t})

$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$

y_{t} | θ_{t} \sim N (F_{t}^{^{'}} θ_{t}, V_{t})

$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$

θ_{t} | D_{t} \sim N (m_{t}, C_{t})

$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$

con

\begin{array}{rcl} a_{t} & = G_{t} m_{t - 1}, R_{t} & = G_{t} C_{t - 1} G_{t}^{^{'}} + W_{t} \\ e_{t} & = y_{t} - f_{t}, m_{t} & = a_{t} + A_{t} e_{t} \\ f_{t} & = F_{t}^{^{'}} a_{t}, Q_{t} & = F_{t}^{^{'}} R_{t} F_{t} + V_{t} \\ A_{t} & = R_{t} F_{t} Q_{t}^{- 1}, C_{t} & = R_{t} - A_{t} Q_{t} A_{t}^{^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$

$\theta_{t}|D_{t-1}$ $\theta_{t}$ $y$ $t-1$ $\theta_{t|t-1}$

$y_{t+1}|D_{t}$

E [y_{t + 1} | D_{t}] = E [F_{t + 1}^{^{'}} θ_{t + 1} + v_{t + 1} | D_{t}] = F_{t + 1}^{^{'}} E [θ_{t + 1} | D_{t}] = F_{t + 1}^{^{'}} a_{t + 1} = f_{t + 1}

$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$

Hasta donde entiendo, estos son los pasos, sin embargo, avíseme si hay un error o una imprecisión:

$m_{0}$ $C_{0}$ $\theta_{0}$
$y_{1}|D_{0}$ $f_{1}$ $F^{'}_{1}a_{1}$ $a_{1}$ $a_{1} = G_{1}m_{0}$
$y_{1}|D_{0}$ $e_{1} = y_{1} - f_{1}$
$e_{1}$ $\theta_{1}|D_{1}$ $m_{1}$ $C_{1}$ $m1$ $a_{1} + A_{1}e_{1}$
$y_{2}|D_{1}$ $f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$ $a_{2} = G_{2}m_{1}$ $m1$ $\theta_{1}|D_{1}$ $e_{2}$ $\theta_{2}|D_{2}$

$\theta_{t}|D_{t}$ $y_{t+1}|D_{t}$

En aras de la brevedad, omití los pasos para calcular las matrices de covarianza.

¿Yo me perdí algo? ¿Conoces una mejor manera de explicar esto? Creo que esto todavía es un poco desordenado, por lo que tal vez haya un enfoque más claro.

kalman-filter state-space-models

— Robert Smith
fuente

$A_t$

— F. Tusell
fuente

Gracias por su respuesta. Tal vez sea correcto, pero me gustaría leer una explicación más detallada (y natural) de esto. He leído descripciones en libros y diapositivas, pero la mayoría de ellas no son muy claras y existen ligeras diferencias.

— Robert Smith