¿El

Me encontré con esta densidad el otro día. ¿Alguien le ha dado un nombre a esto?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

La densidad es infinita en el origen y también tiene colas gruesas. Vi que se usaba como una distribución previa en un contexto donde se esperaba que muchas observaciones fueran pequeñas, aunque también se esperaban grandes valores.

distributions probability

— John D. Cook
fuente

por curiosidad, ¿tienes una cita para la fuente donde viste esto originalmente?

— JMS

JMS: "El estimador de herradura para señales dispersas" por Carvalho, Polson y Scott. Lo vi como una preimpresión, pero puede que ya se haya publicado en Biometrika. No utilizan exactamente esto antes, pero la densidad anterior es una aproximación a un caso especial de su anterior.

— John D. Cook

Ha sido publicado: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

— fabians

¿Qué caso especial estás aproximando? Lo he leído, pero ¿realmente no puedo relacionar tu expresión con las expresiones dadas en el documento ...?

— fabians

@fabians: El caso que tenía en mente era sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 en el teorema 1. Dice que la densidad de herradura está limitada por arriba y por abajo por múltiplos de log (1 + c / x ^ 2). Entonces, tal vez la distribución que mencioné anteriormente es más una simplificación de la densidad de herradura que una aproximación.

— John D. Cook

Respuestas:

De hecho, incluso el primer momento no existe. El CDF de esta distribución está dado por

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

$x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$ ), que muestra este CDF como una versión (sustancialmente) perturbada de la distribución de Cauchy, que se muestra como guiones rojos).

ingrese la descripción de la imagen aquí

— whuber
fuente

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

@whuber, aunque creo que veo de dónde vienes con respecto a tu declaración sobre los cdfs que tienen formularios cerrados (pista: Louiville), instaría a la precaución con ese comentario. La distribución de Cauchy en sí misma es un "contraejemplo" en ese sentido.

— cardenal

@cardinal No entiendo el punto de tu comentario sobre la distribución de Cauchy. Solo estoy usando la forma de CDF como heurística para limitar las búsquedas y como objetivo para las búsquedas. El CDF es un poco más conveniente que el PDF porque es más fácil ver cómo cambiará cuando se transforma la variable. Y sí, la relación que notó es clara, pero elegí escribir el CDF de esta forma debido a la presencia del arcotangente en el otro término (lo que sugiere la sustitución x = tan (u)).

— whuber

@whuber, bueno, tal vez hubiera sido mejor pedir una aclaración en lugar de suponer. ¿Cuál fue su punto con respecto a su comentario de que un formato cerrado de PDF limita severamente las posibilidades?

— cardenal

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

Talvez no.

No pude encontrarlo en esta lista bastante extensa de distribuciones:

Leemis y McQuestion 2008 Relaciones de distribución univariante. Estadístico estadounidense 62 (1) 45:53

— Abe
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