x,y∈Rnϕ
También quiero saber si
x,y∈Rnϕ
También quiero saber si
Respuestas:
Puede obtener la ecuación explícita de para el núcleo gaussiano a través de la expansión de la serie Tailor de e x . Para simplificar la notación, suponga x ∈ R 1 :
Esto también se discute con más detalle en estas diapositivas por Chih-Jen Lin de NTU (diapositiva 11 específicamente). Tenga en cuenta que en las diapositivas se usa como parámetro del núcleo.
La ecuación en el OP solo se cumple para el núcleo lineal.
Para cualquier psd válido kernel , existe un mapa de características φ : X → H tal que k ( x , y ) = ⟨ φ ( x ) , φ ( y ) ⟩ H . De hecho, el espacio H y la incrustación φ no necesitan ser únicos, pero hay un par único importante ( H , φ ) conocido como el espacio de reproducción de Hilbert del núcleo (RKHS).
El RKHS es discutido por: Steinwart, Hush and Scovel, Una descripción explícita del espacio de reproducción Hilbert Spaces of Gaussian RBF Kernels , IEEE Transactions on Information Theory 2006 ( doi , citeeer pdf gratuito ).
Es algo complicado, pero se reduce a esto: defina como e n ( z ) : = √
Sea una secuencia que abarca todas las d -tuplas de enteros no negativos; si d = 3 , quizás n ( 0 ) = ( 0 , 0 , 0 ) , n ( 1 ) = ( 0 , 0 , 1 ) , n ( 2 ) = ( 0 , 1 , 1 ), y así. Denotan la componente ésimo de la i º tupla por n i j .
Entonces el componente número de φ ( x ) es ∏ d j = 1 e n i j ( x j ) . Entonces φ asigna vectores en R d a vectores complejos de dimensiones infinitas.
El problema con esto es que además tenemos que definir normas para estos vectores complejos de dimensión infinita de una manera especial; Vea el documento para más detalles.
Steinwart y col. También proporciono una integración más directa (a mi parecer) en , el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado de R d → R : Φ σ ( x ) = ( 2 σ ) d
These are not the only embeddings that work.
Another is based on the Fourier transform, which the celebrated paper of Rahimi and Recht (Random Features for Large-Scale Kernel Machines, NIPS 2007) approximates to great effect.
You can also do it using Taylor series: effectively the infinite version of Cotter, Keshet, and Srebro, Explicit Approximations of the Gaussian Kernel, arXiv:1109.4603.
It seems to me that your second equation will only be true if is a linear mapping (and hence is a linear kernel). As the Gaussian kernel is non-linear, the equality will not hold (except perhaps in the limit as goes to zero).