Ejemplo de desigualdad estricta de von Neumann

Deje que denote el riesgo de Bayes de un estimador con respecto a un anterior , deje que denote el conjunto de todos los anteriores en el espacio de parámetros y deje que denote el conjunto de todas las reglas de decisión (posiblemente aleatorias).δ π Π Θ $r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

La interpretación estadística de la desigualdad minimax de John von Neumann establece que

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

con estricta igualdad garantizada para algunos $\delta'$ y $\pi'$ cuando $\Theta$ y $\Delta$ son ambos finitos.

¿Alguien puede proporcionar un ejemplo concreto donde la desigualdad es estricta?

Un ejemplo de desigualdad estricta de von Neumann ocurre cuando la función de riesgo cumple las siguientes condiciones para algunos valores (donde el valor anterior es "bajo" y el último es "alto"):r 0 < r $r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

La primera condición dice que, independientemente de lo anterior, siempre hay una regla de decisión con bajo riesgo , que proporciona . La segunda condición dice que, independientemente de la regla de decisión, siempre hay algo previo que da un alto riesgo , que da .sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 r 1 inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r $r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Otra forma de declarar esta situación es que no hay una regla de decisión (elegida antes de ver la anterior) que garantice un bajo riesgo para cada previo (a veces tendrá un alto riesgo), pero para cada anterior, hay alguna regla de decisión (elegida después de ver lo anterior) que garantiza bajo riesgo. En otras palabras, para imponer un límite bajo al riesgo, necesitamos adaptar nuestra regla de decisión a la anterior .

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Ejemplo: Un ejemplo simple de este tipo de situación ocurre cuando tiene un par de permitidas y un par de reglas de decisión permitidas con una matriz de riesgo como esta:δ 0 , δ $\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

En este caso, no existe una regla de decisión que garantice un bajo riesgo sobre los dos anteriores, pero para cada uno de los anteriores hay una regla de decisión que tiene bajo riesgo. Esta situación satisface las condiciones anteriores, lo que da una desigualdad estricta en la desigualdad de von Neumann.