Comprender la varianza de los efectos aleatorios en los modelos lmer ()

Tengo problemas para entender el resultado de mi lmer()modelo. Es un modelo simple de una variable de resultado (Apoyo) con interceptaciones estatales / efectos aleatorios estatales variables:

mlm1 <- lmer(Support ~ (1 | State))

Los resultados de summary(mlm1)son:

Linear mixed model fit by REML 
Formula: Support ~ (1 | State) 
   AIC   BIC logLik deviance REMLdev
 12088 12107  -6041    12076   12082
Random effects:
 Groups   Name        Variance  Std.Dev.
 State    (Intercept) 0.0063695 0.079809
 Residual             1.1114756 1.054265
Number of obs: 4097, groups: State, 48

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  0.13218    0.02159   6.123

Supongo que la variación de las intercepciones de estado variable / efectos aleatorios es 0.0063695. Pero cuando extraigo el vector de estos efectos aleatorios de estado y calculo la varianza

var(ranef(mlm1)$State)

El resultado es: 0.001800869considerablemente menor que la varianza reportada por summary().

Por lo que yo entiendo, el modelo que he especificado se puede escribir:

$y_i = \alpha_0 + \alpha_s + \epsilon_i, \text{ for } i = \{1, 2, ..., 4097\}$

$\alpha_s \sim N(0, \sigma^2_\alpha), \text{ for } s = \{1, 2, ..., 48\}$

$\alpha_s$ $\sigma^2_\alpha$ lmer()

r mixed-model random-effects-model lme4-nlme

— nomad545
fuente

lmer()

σ_{α}^{2}

$\sigma^2_\alpha$

{\hat{α}}_{s}

$\hat\alpha_s$

y_{i}

$y_i$

y_{i s}

$y_{is}$

Aquí hay una pregunta muy similar, con una respuesta algo diferente

— Arne Jonas Warnke

Este es un clásico anova de una vía. Una respuesta muy breve a su pregunta es que el componente de varianza se compone de dos términos.

{\hat{σ}}_{α}^{2} = E [\frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} α_{s}^{2}] = \frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} {\hat{α}}_{s}^{2} + \frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} v a r ({\hat{α}}_{s})

$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=E\left[\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48} \alpha_s^2\right]= \frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}\hat{ \alpha }_s^2 +\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}var(\hat{ \alpha }_s)$

Entonces, el término que calculó es el primer término en la rhs (ya que los efectos aleatorios tienen media cero). El segundo término depende de si se utiliza REML de ML y la suma de los errores estándar al cuadrado de sus efectos aleatorios.

— probabilidadislogica
fuente

¡Ok lo tengo! Entonces, la suma de los SE al cuadrado de los RE - 1/48 * sum((se.ranef(mlm1)$State)^2)- es 0.004557198. La varianza de las estimaciones puntuales de las ER (obtenidas, como anteriormente, usando var(ranef(mlm1)$State)) es 0.001800869. La suma es 0.006358067, que es la varianza informada usando summary()en el lmer()modelo anterior, de 4 o 5 dígitos como mínimo. Muchas gracias @probability

— nomad545

Para aquellos que buscan esta respuesta y el comentario de ayuda, tenga en cuenta que nomad545 también ha utilizado el armpaquete R para la se.ranef()función.

— ndoogan

@probabilityislogic: ¿Puede proporcionar más detalles sobre cómo se calculó esa ecuación? Específicamente, ¿cómo se logró la segunda igualdad? Además, ¿no debería haber un sombrero en el alfa después de la primera igualdad?

— user1357015

Y \sim N o r m a l (1_{n} α_{0}, Σ)

$Y\sim Normal (1_n\alpha_0,\Sigma)$ dónde

Σ = I_{n} σ_{e}^{2} + σ_{α}^{2} Z Z^{T}

$\Sigma=I_n\sigma^2_e+\sigma^2_{\alpha} ZZ^T$ es la varianza "incondicional" de Y. Si haces esto (además de usar algunas manipulaciones) obtienes la igualdad anterior. La segunda igualdad sigue porque

E (α_{s}) = 0

$E (\alpha_s)=0$ (bajo el modelo) significado

v a r (α_{s}) = E (α_{s}^{2})

$var (\alpha_s)=E (\alpha_s^2)$

— probabilityislogic