Definición de probabilidad condicional con múltiples condiciones

Específicamente, digamos que tengo dos eventos, A y B, y algunos parámetros de distribución , y me gustaría mirar . $\theta$ $P(A | B,\theta)$

Entonces, la definición más simple de probabilidad condicional es, dados algunos eventos A y B, entonces . Entonces, si hay varios eventos para condicionar, como he mencionado anteriormente, ¿podría decir que o ¿estoy mirando la manera totalmente incorrecta? Tiendo a mentalizarme cuando trato con la probabilidad a veces, no estoy realmente seguro de por qué. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$

probability conditional-probability

— Splanky222
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¿Cuál es la unión de y ?

A

$A$

B, θ

$B,\theta$

— Ana SH

Respuestas:

Puedes hacer un pequeño truco. Let . Ahora puedes escribir $(B \cap \theta) = C$

P (A | B, θ) = P (A | C) .

$P(A|B, \theta) = P(A|C).$ El problema se reduce al de una probabilidad condicional con una sola condición:

P (A | C) = \frac{P (A \cap C)}{P (C)}

$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$

Ahora complete para nuevamente y lo tendrá: $(B \cap \theta)$ $C$

\frac{P (A \cap C)}{P (C)} = \frac{P (A \cap (B \cap θ))}{P (B \cap θ)}

$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$

Y este es el resultado al que querías llegar. Escribamos esto exactamente en la forma que tenías cuando originalmente planteaste la pregunta:

P (A | B, θ) = \frac{P (A \cap B \cap θ)}{P (B \cap θ)}

$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$

En cuanto a tu segunda pregunta, ¿por qué es que la probabilidad te asusta? Es uno de los hallazgos de la investigación psicológica que los humanos no son muy buenos en el razonamiento probabilístico ;-). Fue un poco difícil para mí encontrar una referencia a la que pueda señalarle. Pero el trabajo de Daniel Kahneman es ciertamente muy importante a este respecto.

— Jens Kouros
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Creo que probablemente quieras esto:

P (A | B, θ) = \frac{P (A \cap B | θ)}{P (B | θ)}

$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$

A menudo me resulta confuso pensar en cómo manipular las probabilidades. Con múltiples condiciones, me resulta más fácil pensar de esta manera:

elimine temporalmente las condiciones que desea que permanezcan como condiciones en su resultado. En este caso, escriba , sacando . $\rm{P}(A|B)$ $\theta$
Aplica las reglas normales. En este caso . $\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$
restaurar las condiciones que se eliminaron. En este caso, restaure , para obtener el resultado . $\theta$ $\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$

— TooTone
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No P (A | B) = P (B y A) / P (B). Entonces, ¿no sería correcto algo como esto? P (A | B, C) = P (C y B y A) / P (C y B)

— DashControl

@DashControl Sí, y si expande la expresión de TooTone obtendrá exactamente el mismo resultado. Son lo mismo :)

— Josh Chen

P (A | B, θ) = (P (A∩B | θ) * P (θ)) / (P (B | θ) * P (θ)) = P (A∩B∩θ) / P ( B∩θ)

— o0omycomputero0o

En mi humilde opinión, este es un enfoque muy malo! stats.stackexchange.com/a/67382/82135 es definitivamente más riguroso.

— nbro