Interpretación del intervalo de predicción del 95% bayesiano

Suponga el siguiente modelo de regresión bivariado:

$$y_i = \beta x_i + u_i,$$ dónde $u_i$ es iid $N(0, \sigma^2 = 9)$ para $i = 1,\ldots, n$.

Suponga un previo informativo , entonces se puede demostrar que el pdf posterior para es donde$p(\beta) \propto \text{constant}$$\beta$

$$p(\beta|\mathbf{y}) = (18\pi)^{-\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left[-\frac{1}{18}\sum_{i=1}^n x_i^2 (\beta - \hat{\beta})^2\right],$$ $\hat{\beta} = (\sum_{i=1}^n y_ix_i)/(\sum_{i=1}^n x_i^2).$

Ahora considere el valor de con un valor futuro dado de , : donde es iid , entonces podemos mostrar que es una densidad normal con expectativa y varianza Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad posterior para , condicional en$y$$x$$x_{n+1}$

$$y_{n+1} = \beta x_{n+1} + u_{n+1},$$ $u_{n+1}$$N(0, \sigma^2 = 9)$ $$p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = \int_{\beta} p(y_{n+1}|x_{n+1}, \beta, \mathbf{y}) p(\beta|\mathbf{y})d\beta$$ $$E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \hat{\beta}x_{n+1},\quad {\rm var}[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}] = \frac{9[x_{n+1}^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2]}{\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$ $y_{n+1}$$x_{n+1}$, es $$\begin{align} p(y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}) = &\left(\frac{18\pi\left[x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right]}{ \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}\right)^{-\frac{1}{2}} \\ & \times \exp\left\{-\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}}{18\left(x_{n+1}^2 + \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i^2}\right)}\left(y_{n+1}-\hat{\beta}x_{n+1}\right)^2\right\} \end{align}$$

---

Ahora la pregunta es: especifique un intervalo de predicción del 95% para e interprete cuidadosamente. ¿Sobre qué aspecto (s) del proceso de generación de datos el intervalo no puede acomodar nuestra incertidumbre?$y_{n+1}$

---

No estoy muy seguro de cómo responder la pregunta, pero aquí está mi intento:

Entonces, esencialmente necesitamos encontrar algunos y tales que$a$$b$$P(a < y_{n+1} < b) = \int_{a}^b p(y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y}) dy_{n+1} = 95\%$

Ahora sabemos que donde y , por lo tanto: $y_{n+1}|x_{n+1}, \mathbf{y} \sim N(m, v^2)$$m = E[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$$v^2 = var[y_{n+1}|x_{n+1},\mathbf{y}]$

$$\frac{y_{n+1}-m}{v} \sim N(0,1)$$ $$P(-1.96 < \frac{y_{n+1}-m}{v} < 1.96) = 95\%$$ $$P(-1.96v+m < y_{n+1} < 1.96v+m) = 95\%$$

Ahora, como estamos condicionando a y observamos la expresión para y , vemos que tanto como son valores conocidos. Así que podemos tomar y . es decir, podemos seleccionar muchas otras posibilidades de y que producen una probabilidad del ... pero ¿cómo se relaciona esto con la respuesta a la parte de la pregunta que pregunta qué aspectos del proceso de generación de datos no puede acomodar este intervalo?$x_{n+1}$$v$$m$$v$$m$$a = -1.96v+m$$b = 1.96v+m$$a$$b$$95\%$

El intervalo acomoda toda la incertidumbre en el problema. En su descripción del problema, las únicas cosas que no sabe son$\beta$ y $u$. El intervalo de predicción que dedujo acomoda la incertidumbre en ambos. Por lo tanto, no queda incertidumbre para que el intervalo "no se acomode".